第六章稳定性模型.ppt

文档介绍：第六章稳定性模型
一、微分方程稳定性理论简介
1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性
右端不显含自变量t ,称为一阶非线性(自治)方程
设有微分方程
的实根表示微分方程的平衡点(或奇点)它也是自治方程的解(奇解)
代数方程
不求x(t), 判断x0稳定性的方法称为直接法
如果存在某个邻域,使自治方程的解x(t),从这个邻域内的某个x出发,满足
称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐近稳定),否则x0是不稳定的(不渐近稳定)
上述这种判断x0稳定性的方法称为间接法
方程(1)近似为
所谓直接法
将方程中的在点作一阶Taylor展开,只取一次项
(4)称为(1)的近似方程, 也是方程(4)的平衡点。
两个方程在点都是稳定的
两个方程在点都是不稳定的
关于点稳定性有以下的结论
2、二阶方程的平衡点及其稳定性
右端不显含t,是自治方程。
二阶方程可以用两个一阶方程表示为
(5)
系数矩阵记作
(8)
为了用直接法讨论方程(5)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程
为了研究(8)的唯一平衡点P0(0,0)的稳定性,假设A 的行列式不等于0。(0,0)点的稳定性由(8)的特征根决定,(8)的特征方程为
(9)