文档介绍：矩阵的特征值与特征向量
第1节矩阵的特征值与特征向量
第2节相似矩阵
一相似矩阵及其性质
矩阵的等价变换
若有可逆矩阵P,Q使得下式成立:
P A Q = B.
则矩阵A与B是等价的。等价的矩阵有:
……
若对上式有进一步的要求,比如要求Q与P有关,且恰为
P的逆矩阵时,即有
P A P-1 = B.
时,则除了以上等价的性质外,结论将进一步加强。
此时我们称上式为相似变换,新的结论为相似不变性。
定义设 A, B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵 P,使
P-1 A P = B,
则称矩阵 A 与 B 是相似的,并说 B 与 A 互为相似矩阵,
记作 A ~ B。
对A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换,
可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
性质:矩阵的相似关系是一种等价关系
反身性: A~A;
对称性:若A~B, 则 B~A;
传递性:若A~B, B~C,则A~C.
定理:若 n 阶矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值亦相同。
证明:因 A 与 B 相似,从而有可逆矩阵 P,使
P-1 A P = B。
从而
| B - λ E | = | P-1AP - P-1 (λE) P | = | P-1(A- λ E)P |
= | A- λ E |.
即 A 与 B 的特征多项式相同, A 与 B 的特征值亦相同。
推论:相似矩阵有相同的行列式;有相同的的迹。
问题:定理的逆是否成立?即有相同特征多项式的矩阵是否一定相似?
推论:若 n 阶矩阵 A 与对角阵Λ= diag(λ1, λ2,…, λn) 相似,则λ1, λ2,…, λn 即是 A 的 n 个特征值。
二相似矩阵的幂与多项式间的关系
性质:若 A~B,且 h(x) 是一个一般的多项式,则有
Ak ~ Bk;
h(A)~h(B)。
证明:A~B,存在可逆矩阵P,使得 P-1AP = B。从而
Bk = (P-1AP) (P-1AP)…(P-1AP) = P-1AkP.
即Ak ~ Bk。
类似地可证 h(A)~h(B).
特别地,若矩阵A与对角矩阵相似,即有可逆矩阵 P 使
则
对于对角阵Λ,易得
由此可方便地计算 A 的多项式 f(A)。
例:对如下矩阵A,求
分析:若矩阵A能相似于一个对角阵,即存在可逆矩阵P,使
则由
而对角矩阵的幂与多项式容易计算,即有
则问题就简化很多。下一步应确定A能否对角化?
三方阵可对角化的条件
定义:如果方阵A能与一个对角矩阵相似,则称A可对角化;否则,就称A不能对角化。
定理:n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明:先证必要必性。假设存在可逆矩阵 P,使得
则有 AP = P Λ,对P按列自然分块为代入
于是可得
反之,若A有n个线性无关的特征向量,将这n个特征向量作成矩阵P,则P可逆,且可将A对角化,而且所得对角阵中的对角元是对应于这n个特征向量的特征值。
例:判定矩阵A是否可以对角化?若能,则求出可使其对角化的相似矩阵P。
=