文档介绍：其基本模型有:
1、距离函数
2、斜率函数
3、Ax+By 截距函数
4、
5、
6、双曲线
数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想,在解题中运用数形结合,常常可以优化解题思路,简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢?即怎样催化数与形的结合呢?最好的方法就是运用数形结合的催化剂——联想,运用联想不但可以催化数与形的结合,而且可以培养我们的创新思维和创新能力。本文就如何以联想为媒,介绍一些常用的联想策略。
一、联想图形的交点
例1、(04湖南高考)设函数,若则关于的方程的解的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析:判定方程有几个实根,直接求解难且繁!如能联想图形的交点进行数形结合,以数助形来解决,则简洁明了。
的对称轴为
即又
从而作出的图象,可知方程有3个解。
例2、(05上海高考题)设定义域为函数,则关于的方程
有7个不同实数解的充要条件是( )
分析:同上题方法,联想图象的交点,由的图象可知要使方程有7个解,应有有3个解,有4个解。
故选(C)
y
x
0
C D
A
B
附已知那么下列命题正确的是( )
A、若、 是第一象限角,则
B、若、 是第二象限角,则
C、若、 是第三象限角,则
D、若、 是第四象限角,则
分析考察选项A,作单位圆,如图,OA、OB分别为角、的终边,∵OC为的余弦线,OD为的余弦线,则有知A错,依1
1
A
C
B
0
y
x
次判断知选D。
二、联想绝对值的几何意义
例3、(03高考)已知,设:函数在上单调递减,:不等式的解集为,如果与有且仅有一个正确,试求的范围。
分析:由的结构,联想绝对值的几何意义,进行数形结合,以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。
:不等式的几何意义为:在数轴上求一点,使到的距离之和的最小值大于1,而到二点的最短距离为,即
而:函数在上单调递减,即
由题意可得:
三、联想一次函数
例4、已知,求证:
分析:本题如直接证明较难,联想一次函数进行数形结合,以数助形。把看成变元,看成常数,构造一次函数
而
又
又
(2)令同理可得
从而
即
四、联想二次函数
例5、已知关于的方程有四个不相等的实根,则实数的取值范围为
分析:直接求解,繁难!。由方程联想二次函数进行数形结合,以数助形,则简洁明了。
设。又为偶函数,由图可知
附关于x的方程在(-1,1)内恰有一个实根,则k的范围是。
分析该问题直接用二次函数的根的分布
相关知识解题,学生不易把握其等价的
充要条件且运算量偏大;若采用数形结
合法,则问题可转化为抛物线
与直线y=k的交点个数问题,作出这两个函数的图像,则可得
五、联想反函数的性质
例6、方程的实根分别为,则=
分析:本题不好求解,联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合,以数助形可巧妙求解
令
互为反函数,其图象关于对称,设
即
六、联想函数的单调性
例7、已知实数(为自然对数的底),证明:
分析:本题直接证较难,,利用函数单调性,进行数形结合转化为函数问题,以数助形可轻松获证
考虑函数在上的单调性
即在上单调递减,
七、联想函数奇偶性
例8、(05天津高考)设是定义在上的奇函数,且