曲线积分与曲面积分.doc

文档介绍：第十章曲线积分与曲面积分
基本内容要求
理解线、面积分的概念,了解线、面积分的几何意义及物理意义,能用线、面积分表达一些几何量和物理量;
掌握线、面积分的计算法;
知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系;
掌握格林公式,并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分;
掌握曲线积分与路径无关的充要条件,并能求全微分为已知的某个原函数,注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少;
掌握高斯公式,并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。
选择
(0,0)到点M(1,1)的直线段,则与曲线积分I=不相等的积分是:( )
A) B)
C) D)
(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段,则曲线积分I=等于( )
A)0 B)-1 C)2 D)-2
,将曲线积分I= 化为定积分的正确结果是:( )
A) B)
C) D)
(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向,
则等于:( )
A) -8 B) 0 C) 8 D) 20
(-1,0) 沿上半圆经点E(0,1)到点B(1,0),则曲线积分I=等于:( )
A) 0 B) C) D)
填空
,又Σ所围的空间闭区域为Ω;设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式,有
= 。
平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线,且,则L 所围成的平面闭区域D的面积等于。
(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数,又Σ是Ω的光滑边界面的外侧,则由高斯公式,有。
,则积分。
面上的圆周的顺时针方向,则I1=与I2= 的大小关系是。
, 的方向与相同,则在力的作用下,质点沿曲线L: 正向绕行一周,力所做的功可用曲线积分表示为: 。
计算
计算曲线积分,其中L为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线OABO.
计算,其中L由直线段AB与BC 组成,路径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2).
求 I=, 其中为由点A(a,0)到点O(0,0) 上半圆周.
验证:当时,是某二元函数U(x,y) 的全微分,并求U(x,y).
计算,Σ是球面在第一卦限部分的上侧。
设在xoy 面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy; (2)这曲线弧的重心坐标。
计算下列对弧长的曲线积分:
(1),其中L为圆周x=acost ,y=asint ;
(2),其中 L为圆周,直线y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;
(3),其中为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点(0,0,0) , (0,0,2) , (1,0,2) , (1,3,2) .
计算下列对坐标的曲线积分:
(1),其中L 为圆周及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
(2) ,其中 L为圆周(按逆时针方向绕行);
(3),其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。
,求下列曲线所围成的图形的面积:圆.
,并计算积分值:

,计算下列曲线积分:
, 其中L为正向星形线.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数U(x,y)的全微分,并求这样的一个
U(x,y) :
:
(1),其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分;
(2),其中Σ为锥面被柱面所截得的有限部分。
()的质量,此壳的面密度的大小为ρ=z.
:
(1),其中∑是柱面被平面z=0及z=3 所截得的在第一卦限内的部分的前侧;
(2),其中∑是平面x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
: , 其中∑为球面的外侧。
证明
已知f(u)连续,且L为逐段光滑的简单封闭曲线,证明:

应用
(设面密度为1)对ox轴的转动惯量。