文档介绍：立体几何中的向量方法
一、知识要点:
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l 或,则称此向量为直线l的方向向量.
确定方法:在直线l上任取两点,这两点确定的向量即为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:.
确定方法:平面的法向量可利用方程组求解,设是平面α内两个不共线的向量,为平面α的法向量,则求法向量的方程组为,
其中可设=(x, y, z)
即时应用:设A(0,2,),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面α内的三点,设平面α的法向量=(x,y,z),则x∶y∶z=__________.
(1) 直线l1,l2的方向向量分别为,,则
① l1∥l2∥=λ; ② l1⊥l2⊥·= 0
(2)直线l的方向向量为,平面α的法向量为,则
①l∥α⊥·=0; ②l⊥α∥=λ
(3)平面α,β的法向量分别为和,则
①α∥β∥=λ; ②α⊥β⊥·=0
【即时应用】
(1)若平面α, β的法向量分别为=(-1,2,4), =(x,-1,-2),并且
α⊥β,则x的值为____.
(2)若直线l1,l2的方向向量分别为=(2,4,-4), =(-6,9,6),
则直线l1,l2的位置关系是_______.
(1)异面直线所成角的求法:
设、分别是两异面直线l1,l2的方向向量,l1与l2所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|=
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线l的方向向量为,平面α的法向量为,
直线l与平面α所成的角为φ,两向量与的夹角为θ,则有
sinφ=|cosθ|=
(3)二面角的求法
①如图a,AB、CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ= <,>.
②如图b、c,和分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos<,>或-cos<,>.
【即时应用】
(1)已知向量和分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,
若cos<,>= -,则l与α所成角的大小为_______.
(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_______.
如图,设AB为平面α的一条斜线段,为平面α的法向量则点B到平面α的距离d=(即向量在向量上的投影长).
【即时应用】
已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方
形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是________.
二、应用举例
1).用向量证平行的方法
(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.
(2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.
(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;
②转化为线面平行、线线平行问题
2).用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.