文档介绍：面薄板(不计其厚度),占有平面上的闭区域,薄板上分布着面密度为的电荷,且在上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷。
解:据题意,薄板区域是Oxy平面上的有界闭域,是定义在D上的面密度函数,那么用任意曲线把分成n个可求面积的小区域,以表示小区域的面积,这些小区域构成了的一个分割T,在每个上任取一点,那么电荷Q即为上的一个积分和。当||T||足够小时,
2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积?试画出下列空间立体的图形:
(1),其中区域是圆域;
解:(1)在圆域上以抛物面为顶的曲顶柱体的体积。
(2),其中区域是三角形域;
解: 在三角形域D上以平面为顶的柱体的体积。
(1) (2)
3. 利用二重积分定义证明:
(1) (其中为的面积);
解:已知题中,设是有界区域的一个分割,即,以表示小区域的面积,在每个上任取一点,当足够小时有
(其中为常数);
解:令,设是有界区域的一个分割,即,以表示小区域的面积,在每个上任取一点,当足够小时有
(3) 其中,且和为两个无公共内点的闭区域。
解:设是有界区域的一个分割,即,以表示小区域的面积,在每个上任取一点,当足够小时有
设是有界区域的一个分割,即,以表示小区域的面积,在每个上任取一点,当足够小时有
令是有界区域的一个分割,其中,且和为两个无公共内点的闭区域。即,以表示小区域的面积,在每个上任取一点,
利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1),其中是矩形闭区域:;
解:已知是矩形闭区域,在上连续,由积分中值定理知存在使得,这里=1,
由得,进而推得
即
(2),其中是矩形闭区域:;
解:令则由积分中值定理知存在使得
这里,由可得
,推得
即
(3),其中是圆形闭区域:;
解:令由积分中值定理知存在使得
这里,由可得
,,故,推得
,即
(4),其中是矩形闭区域:。
解:令由积分中值定理知存在使得:
这里,由可得
,推得
即
习题9-2
1. 将二重积分化为二次积分(两种次序),其中分别如下:
(1)以点顶点的三角形;
解:积分区域可看做为直线和与y轴所围区域部分
先对积分:,
先对积分:和
(2)由曲线和所围成的区域;
解:积分区域可看做为直线和曲线所围区域部分先对积分:
,
先对积分:,
,即:
在第一象限中由和所围成的区域;
解:积分区域可看做为直线和曲线所围区域部分。先对积分:
,
先对积分:,
即:
(4)圆域;
解: 积分区域是圆的内部区域。先对积分:
先对积分:
即:
(5)由直线和所围成的区域。
解:积分区域可看作直线所围成的区域。
先对积分:
先对积分:,
即:
2. 画出下列各二次积分所对应的二重积分的积分区域,并更换积分顺序:
(1); (2);
解:原式= 解:
1
0 3
将积分区域分为三个部分
(3); (4)。
解:积分区域可看作解:积分区域可看作
.
3. 计算下列二重积分
(1),其中为矩形域:;
解:
(2),其中为矩形域:;
解:
(3) ,其中为抛物线与直线()所围成的区域;
解:
(4),其中为由的下半圆与直线所围成的区域;
解:
(5),其中为圆域:;
解:,令,
原式
(6),其中为由曲线与直线所围成的区域;
解:已知与的交点
(7),其中为由双曲线与直线所围成的区域;
解:
(8),其中为由不等式和所决定的区域。
解:已知与交于
,令,原式
4. 在极坐标系中计算下列二重积分:
(1),其中为圆环:;
解:令,由已知条件可以得出满足
条件,这里,原式
(2),其中为圆域:;
解:令,由已知条件可得,由此
可得,原式
(3),其中为由不等式及所决定的区域;
解:令,由已知条件及,可得
分别满足条件:,,
原式
(4),其中为由双纽线所围成的区域。
解:令并带入条件得
,知r满足条件,又由推得满足条件,
原式
5. 利用二重积分求下列图形的面积:
(1)由抛物线所围成的图形;
解:由题给条件得出两条曲线的交点
面积
(2)由曲线所围成的图形;
解:令代入题设条件可以求得
面积
(3)由不等式及所决定的图形。
解:由题中条件知当即时,
当即时
面积
6. 利用二重积分求下列立体的体积:
(1)由曲面和平面所围成立体在第一卦限中的部分;
解:据题意,所求体积部分在第一卦限中,故知,令
,由题设条件及可得满足条件,于是所求体积为
(2)由曲面与所围立体。
解:知两曲面交于曲线,令,知积分区域
,由题