文档介绍：高等数学
函数与极限
函数
○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)
○邻域(去心邻域)(★)
无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质(★)
函数无穷小
函数无穷大
○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★)
(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则
(定理四)在自变量的某个变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大
【题型示例】计算:(或)
1.∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的;
(∵≤,∴函数在上有界;)
;
(即函数是时的无穷小;)
()
极限运算法则
○极限的四则运算法则(★★)
(定理一)加减法则
(定理二)乘除法则
关于多项式、商式的极限运算
设:
则有
(特别地,当(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)
【题型示例】求值
【求解示例】解:因为,从而可得,所以原式
其中为函数的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):
解:
○连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★)
(定理五)若函数是定义域上的连续函数,那么,
【题型示例】求值:
【求解示例】
极限存在准则及两个重要极限
○夹逼准则(★★★)
第一个重要极限:
∵,∴
(特别地,)
○单调有界收敛准则(★★★)
第二个重要极限:
(一般地,,其中)
【题型示例】求值:
【求解示例】
无穷小量的阶(无穷小的比较)
○等价无穷小(★★)
1.
2.
(乘除可替,加减不行)
【题型示例】求值:
【求解示例】
函数的连续性
○函数连续的定义(★)
○间断点的分类(★)
(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)
【题型示例】设函数,应该怎样选择数,使得成为在上的连续函数?
【求解示例】
1.∵
∴
闭区间上连续函数的性质
○零点定理(★)
【题型示例】证明:方程至少有一个根介于与之间
【证明示例】
1.(建立辅助函数)函数在闭区间上连续;
2.∵(端点异号)
3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()
导数与微分
导数概念
○高等数学中导数的定义及几何意义(★★)
【题型示例】已知函数,在处可导,求,
【求解示例】
1.∵,
∴
【题型示例】求在处的切线与法线方程
(或:过图像上点处的切线与法线方程)
【求解示例】
1.,
:
法线方程:
函数的和(差)、积与商的求导法则
○函数和(差)、积与商的求导法则(★★★)
(定理一):
特别地,当时,有
(定理二):
(定理三):
反函数和复合函数的求导法则
○反函数的求导法则(★)
【题型示例】求函数的导数
【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域上单调、可导,且;∴
○复合函数的求导法则(★★★)
【题型示例】设,求
【求解示例】
高阶导数
○(或)(★)
【题型示例】求函数的阶导数
【求解示例】,
,
……
隐函数及参数方