文档介绍：第七章常微分方程
一、本章学****要求与重点和难点
(一)基本要求
、解、通解、初始条件与特解等概念.
.
.
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,时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.
6. 知道特殊的高阶微分方程(,,)的降阶法.
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重点微分方程的通解与特解等概念,一阶微分方程的分离变量法,一阶线性微分方程的常数变易法,二阶线性微分方程的解的结构,二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。
难点一阶微分方程的分离变量法,一阶线性微分方程的常数变易法,二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法,高阶微分方程的降阶法,用微分方程解决一些简单的实际问题.
二、主要解题方法
例1 求微分方程满足条件的特解
.
解这是可以分离变量的微分方程,将方程分离变量,有
两边积分,得
求积分得
,
记,得方程的解.
可以验证时,,它们也是原方程的解,因此,式中的可以为任意常数,所以原方程的通解为(为任意常数).
代入初始条件得,所以特解为
.
例2 求微分方程(1),(2) 的通解.
(1)解一原方程可化为,令,
则,即,
两边取积分,
积分得,将代入原方程,整理得原方程的通解为(为任意常数).
解二原方程可化为为一阶线性微分方程,,得其通解为.
设为原方程的解,代入原方程,化简得
所以原方程的通解为,即(为任意常数).
(2)解这里,代入通解的公式得
(为任意常数).
小结一阶微分方程的解法主要有两种:分离变量法,常数变易法.
常数变易法主要适用线性的一阶微分方程,若方程能化为标准形式,也可直接利用公式
)
求通解.
可降阶的高阶微分方程
例3 求微分方程的通解.
解方程中不显含未知函数,令
代入原方程,得
微分方程是关于未知函数的一阶线性微分方程,代入常数变易法的通解公式,所以
由此
因此,原方程的通解为(为任意常数).
例4 求微分方程满足初始条件
,的特解.
解方程不显含,令,则方程可化为
当时,于是.
根据,知代入上式,得
,从而得到,积分得,
再由,求得,于是当时,原方程满足所给初始条件的特解为,
当时,得(常数),显然这个解也满足方程,这个解可包含在解中.
故原方程满足所给初始条件的特解为,即.
二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法
例5 求微分方程的通解.
解原方程对应的特征方程为
当,即或时,特征方程有两个不相等的
实根
,,
故原方程的通解为
.
当,即或时,特征方程有两个相等的实根
故原方程的通解为.
当,即时,特征方程有两个共轭复根
故原方程的通解为
.
例6 求微分方程满足初始条件
,的特解.
解对应齐次方程的特征方程为,特征根.
故对应齐次微分方程的通解为.
因为是特征方程的单根,所以设特解为
代入原方程得
比较同类项系数得,从而原方程的特解为
故原方程的通解为,
由初始条件时,,得
从而,.因此满足初始条件的特解为
.
例7 求微分方程的通解.
解对应的齐次微分方程的特征方程,
为了求原方程的一个特解, 先求
,且是零次多项式。所以设特解为,代入原方程,化简得
比较同类项系数,得
所以,方程的特解为
其虚部即为所求原方程的特解.
因此原方程通解为
.
小结在设微分方程的特解时,:,那么,,微分方程的特解都是满足一定初始条件的解,上面所求的特解一般不会满足题设初始条件,因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.
用微分方程解决实际问题的方法
例8 已知某曲线经过点,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.
解设所求曲线方程为为其上任一点,则过点的曲线的切线方程为,
由假设,当时,从而上式成为.
因此求曲线的问题,转化为求解微分方程的定解问题
,得
代入得,故所求曲线方程为.
小结用微分方程解决实际问题,包括建立微分方程,,一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识,如几何、物理等
.
三、学法建议
本章重点为微分方程的通解与特解等概念,一阶微分方程的分
离变量法,一阶线性微分方程的常数变易法,二阶线性微分方程的解的结构,