文档介绍：§ 函数的条件极值问题,拉格朗日乘子
这里让我们概要的说明在给定的约束条件下,函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题,称为函数或泛函的条件极值问题。
对于一个函数,如,其绝对极小值是根据下面条件求得,
(3-1)
解(3-1)式,可以求出相应的解,将与代入函数则可获得函数的绝对极小(极大)值。
如果我们给定一约束条件,则表示在给定的约束条件的情形下,求的极值。显然,这种带有约束条件下求极值,相当于把所求范围缩小了,如果存在有极值的话,那么,这个极值不是绝对极小(或极大)值,而是相对值,它总大于(或等于)无条件时的极小值,或总小于(或等于)无条件时的极大值。
对这类条件极值问题,一般多利用所谓的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理解,的极值条件可以写成
(3-2)
约束条件可以写成
(3-3)
因此(3-2)式中的,不是独立的,而是由(3-3)式的微分关系式
(3-4)
连系着的。假定,解(3-4)式,得
(3-5)
而(3-2)式可化为
(3-6)
于是把(3-6)式与(3-3)式连在一起,是求解极值点的两个方程式。
如果用拉格朗日乘子法,可构造以下函数,如
(3-7)
式中称为拉格朗日乘子。的极值条件为
(3-8)
这里把都看作是独立的任意变量,于是从(3-8)式可得到
,, (3-9)
消去,得
, (3-10)
这与(3-3)式和(3-6)式完全相同,所以用拉格朗日乘子法与上面介绍的方法是等价的。
现在让我们在约束条件
(3-11)
下求函数
(3-12)
的极值,其中。同样可用拉格朗日乘子法,设拉格朗日乘子为,并用
(3-13)
把作为,的个独立变量的函数,求其极值。
(3-14)
由于都是独立变量,于是由,得
(3-15)
这是求解个变量的个方程。
(3-15)式还可以通过以下方法求得。
(3-12)式的变分极值要求
(3-16)
因为有(3-11)式的个约束条件,所以这些中只有个是独立的。从(3-11)式的个约束条件可以求得下列微分条件
(3-17)
将(3-17)式乘以,与(3-16)式相加,得
(3-18)
这里的是任选的,如果我们选择个待定的,使下面个条件
(3-19)
满足,则(3-18)式就可以写成
(3-20)
这里是作为独立量出现的,于是
(3-21)
将(3-19)、(3-21)及(3-11)式合在一起,即可得到(3-15)式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。
§ 泛函在约束条件下的极值问题
泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。
【定理】泛函
(3-22)
在约束条件
(3-23)
下的变分极值问题所确定的函数,必满足由泛函
(3-24)
的变分极值问题所确定的欧拉方程
(3-25)
其中为个拉格朗日乘子。我们把和都看作是泛函的变量,所以同样也可以看作是泛函的欧拉方程。
(3-25)式也可以写成
(3-26)
现在让我们证明这个定理。首先求泛函(3-22)式的变分,它经过分部积分(用端点给定不变的条件)可以写成
(3-27)
注意到这里的不是独立的,它是由约束条件(3-23)连系着的。设为特定