文档介绍：第二章
静电场
内容概要
1. 平面导体板的情况
2. 导体球情况
3. 半无限大介质空间情况
§ 镜像法
静电场的问题求解下列方程问题
在无自由电荷的空间区域,泊松方程变成
——拉普拉斯(Laplace)方程
分离变量法解拉普拉斯方程.
唯一性定理:设区域V内给定自由电荷分布,在边界S上给定
或/n
则V内的电场唯一地确定.
唯一性定理
求解具有边界条件的泊松方程是很困难的.
电场分布
区域内只有一个或几个点电荷,区域边界是导体或介质界面时求解电场分布的一种特殊方法——镜像法.
尝试解
Q
Q
+
+
+
+
点电荷Q的镜像
代换满足边界条件
代换没有改变电荷分布
泊松方程不变
假想电荷代替感应电荷分布
问题解决
注意:
(1) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的泊松方程或拉普拉斯方程. 因此,在所研究的场域内不可放置镜像电荷,也就是说,镜像电荷必须放在研究的场域外.
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用,因此放置镜像电荷后,就认为原来的真实的导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介电常量.
例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q,求空间中的电场.
在点电荷Q作用下,导体板上出现感应电荷分布. 空间中的电场是由点电荷Q以及导体面上的感应电荷共同激发, 在总电场作用下导体静电平衡,即导体表面为等势面.
设想,感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替. 如图,设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q, 然后把导体板抽去. 若Q=-Q,则假想电荷Q与给定电荷Q激发的总电场如图所示, 由对称性知,边界条件满足. 因此,导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q代替, Q称为Q的镜像电荷.
Q
Q=Q
解:
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电荷Q共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r表示象电荷Q到P的距离, P点的电势为
具体求解过程如下.