文档介绍：一、初等矩阵
二、等价矩阵
§ 初等矩阵
三、用初等变换求矩阵的逆
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由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.
定义
一、初等矩阵
三种初等变换对应着三种初等方阵:
循厩表黍甥殃扩礁瞬沫命鹿瞳肇猿邢器列椒绩乒苟痛治台惩睛硫霜束莹炙高等代数【北大版】4-6高等代数【北大版】4-6
(换法矩阵)
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(倍法矩阵)
以数乘单位矩阵的第期 i 行得初等矩阵
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(消法矩阵)
壳齐英筒茶夫赂闭函敬耸丸即营统惹躺溢表仓优竿铸戍淤遮拴苞薯绵弟麦高等代数【北大版】4-6高等代数【北大版】4-6
1 初等矩阵皆可逆,且其逆仍为初等矩阵.
初等矩阵的性质
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2 引理对任一矩阵作一初等行(列)变换相当于
对左(右)乘一个相应的初等矩阵.
: 对换的两行;
: 对换的两列.
:用非零数乘的第列;
:用非零数乘的第列.
: 的第行乘以加到第行;
: 的第列乘以加到第列.
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若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到,则称A与B等价的.(也称A与B相抵)
①矩阵的等价关系具有:
反射性、对称性、传递性.
②等价矩阵的秩相等.
二、等价矩阵
定义
注:
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1) 定理5 任一矩阵 A 都与一形式为
矩阵等价的有关结论
的矩阵等价,称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数等于R(A)(1的个数可以是零).
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2) 矩阵A、B等价
存在初等矩阵
使
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E.
A与单位矩阵E等价.
即
4) n 级方阵A可逆
A能表成一些初等矩阵的积,
定理6
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