文档介绍：§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章线性变换
§5 对角矩阵
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一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
§ 最小多项式
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§ 最小多项式
由哈密尔顿―凯莱定理,
是A的特征多项式,则
因此,对任定一个矩阵,总可以找到一个
多项式使
多项式以A为根.
引入
本节讨论,以矩阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
此时,也称
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§ 最小多项式
一、最小多项式的定义
定义:
设在数域P上的以A为根的多项
为A的最小多项式.
式中,次数最低的首项系数为1的那个多项式,称
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§ 最小多项式
二、最小多项式的基本性质
1.(引理1)矩阵A的最小多项式是唯一的.
证:设都是A的最小多项式.
由带余除法, 可表成
其中或
于是有
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§ 最小多项式
由最小多项式的定义,
即,
同理可得,
又都是首1多项式,
故
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§ 最小多项式
2.(引理2)设是矩阵A的最小多项式,则
以A为根
证:充分性显然,只证必要性
由带余除法, 可表成
其中或
于是有
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§ 最小多项式
由最小多项式的定义,
由此可知:
若是A的最小多项式,则整除任何一
个以A为根的多项式,从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
因子.
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§ 最小多项式
例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式
特别地,单位矩阵的最小多项式是;
零矩阵的最小多项式是.
反之,若矩阵A的最小多项式是一次多项式,则
A一定是数量矩阵.
例2、求的最小多项式.
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§ 最小多项式
解:A的特征多项式为
又
∴ A的最小多项式为
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§ 最小多项式