文档介绍：求不定积分的方法及技巧小汇总~
利用基本公式。
第一类换元法。(凑微分)
设f(μ)具有原函数F(μ)。则
其中可微。
用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:
例1:
【解】
例2:
【解】
第二类换元法:
设是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:
分部积分法.
公式:
分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取时,通常基于以下两点考虑:
降低多项式部分的系数
简化被积函数的类型
举两个例子吧~!
例3:
【解】观察被积函数,选取变换,则
例4:
【解】
上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。
有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。
在中,的选取有下面简单的规律:
将以上规律化成一个图就是:
(a^x
arcsinx)
(lnx
Pm(x)
sinx)
ν
μ
但是,当时,是无法求解的。
对于(3)情况,有两个通用公式:
(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中,常可以看到分部积分)
几种特殊类型函数的积分。
有理函数的积分
有理函数先化为多项式和真分式之和,再把分解为若干个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时,记得用递推公式:)
例5:
【解】
故不定积分求得。
(2)三角函数有理式的积分
万能公式:
的积分,但由于计算较烦,应尽量避免。
对于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成。再用待定系数来做。(注:没举例题并不代表不重要~)
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
像一些简单的,应灵活运用。如:同时出现时,可令;同时出现时,可令;同时出现时,可令x=sint;同时出现时,可令x=cost等等。