文档介绍：第6章图像的几何变换
几何变换基础
图像比例缩放
图像平移
图像镜像
图像旋转
图像复合变换
图像透视变换
应用实例——几何畸变的校正
几何变换基础 概述 图像的几何变换,是指原始图像按照需要产生大小、形状和位置的变化。从图像类型来分,图像的几何变换可以有二维平面图像的几何变换和三维图像的几何变换以及由三维向二维平面投影的变换等。从变换的性质分,图像的几何变换有平移、比例缩放、旋转、反射和错切等基本变换,透视变换等复合变换,以及插值运算等。
数字图像是把连续图像在坐标空间和性质空间离散化了的图像。例如,一幅二维数字图像就是把一幅连续的二维(2D)图像在坐标空间XOY和性质空间F都离散化了的图像,它可以用一组2D数组f(x, y)来表示,其中x和y表示2D空间XOY中一个坐标点的位置,f代表图像在点(x, y)的某种性质F的数值。如果所处理的是一幅灰度图,这时f表示灰度值。此时,f、x、y都在整数集合中取值。因此,除了插值运算外,常见的图像几何变换可以通过与之对应的矩阵线性变换来实现。
由于篇幅所限,本章只讨论2D图像的几何变换。 对于2D图像几何变换,由于变换中心在坐标原点的恒等、比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换,都可以用2×2矩阵表示和实现,但是一个2×2变换矩阵却 不能实现2D图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换。因此,为了能够用统一的矩阵线性变换的形式表示和实现这些常见的图像几何变换,就需要引入一种新的坐标——齐次坐标。利用齐次坐标进行变换处理,才能实现上述各种2D图像的几何变换。
齐次坐标 现设点P0(x0, y0)进行平移后,移到P(x, y),其中x方向的平移量为Δx,y方向的平移量为Δy。那么,点P(x, y)的坐标为
如图6-1所示。这个变换用矩阵的形式可以表示为
图6-1 点的平移
而平面上点的变换矩阵中没有引入平移常量,无论a、b、c、d取什么值,都不能实现上述的平移变换。因此,需要使用2×3阶变换矩阵,其形式为
此矩阵的第一、二列构成单位矩阵,第三列元素为平移常量。由上述可知,对2D图像进行变换,只需将图像的点集矩阵乘以变换矩阵即可。2D图像对应的点集矩阵是2×n阶的,而上式扩展后的变换矩阵是2×3阶的矩阵,这不符合矩阵相乘时要求前者的列数与后者的行数相等的规则,因此需要在点的坐标列矩阵[x y]T中引入第三个元素,增加一个附加坐标,扩展为3×1的列矩阵[x y 1]T,这样用三维空间点(x y 1)表示二维空间点(x, y),即采用一种特殊的坐标,可以实现平移变换。变换结果为
其中符合上述平移后的坐标位置。通常将2×3 阶矩阵扩充为3×3阶矩阵,以拓宽功能。由此可得平移变换矩阵为
下面再验证一下点P(x, y)按照3×3的变换矩阵T平移变换的结果:
从上式可以看出,引入附加坐标后,扩充了矩阵的第3行,并没有使变换结果受到影响。这种用n+1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法