文档介绍：第四章线性系统的根轨迹分析
在时域分析中已经看到,闭环系统瞬态响应的基本特征,由闭环极点来确定。因此,在分析和设计控制系统时,确定极点在平面上的位置很重要。
所谓闭环极点就是闭环特征方程的根,当特征方程的阶次较高时(例如在四阶以上时),求根就比较困难,而且当系统中某一参数变化时,又需要重新进行计算,这就给分析系统带来很大的不便。
伊凡思发现了一种找特征根的简单方法,称为根轨迹法,在控制工程中获得了广泛的应用。
§4-1 概述
一、基本概念
所谓根轨迹,是指当系统开环传递函数某个参数由零变化到无穷大时,其对应系统闭环极点在平面上移动的轨迹。
在介绍图解法之前,先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。
图4-1 控制系统方框图
例如图4-1所示系统,其开环传递函数为。
特征方程为
当时,
当时,
当时,
图4-2 图4-1系统的根轨迹
令从零变化到无穷大,用解析方法可以求出相应的闭环极点数值,将这些闭环极点标注在平面上,并圆滑连接,即得到闭环极点在平面移动的轨迹如图4-2所示。轨迹上的箭头表示随着值增大,根轨迹变化的趋势。本例题标注的数值代表与闭环极点相匹配的值。
根轨迹的特点是:(1)表示了开环传递函数某一参数与闭环极点的全部关系;(2)可变参数的选取是由使用者根据需要而定,通常取开环增益;(3)建立在凑试基础上。通过画根轨迹,表示特征方程与系统某一参数关系的方法,称为根轨迹法。其思路是,对于负反馈系统,使开环传递函数等于的值,必须满足系统的特征方程。
根轨迹在分析系统时的用途是:(1)可看出稳定性,即当某一参数由0变化到时,由根轨迹能否越过虚轴进入平面的右半部,来看系统是否稳定,如果是条件稳定系统,那么稳定的条件是什么,即参数取在什么范围可使系统保持稳定等;(2)可知系统的稳态性能,由在平面坐标原点开环极点的个数,可知系统为几型系统;(3)可获得系统的动态性能,根据某参数在所取特征根范围内特征根的虚和实,可知系统对输入信号的响应类型。例如本例:a)当时,系统为两个不相等的负实根,这样系统为过阻尼状态,其阶跃响应为非周期过程;b)时,特征根为两个相等的负实根,这样系统处于临界阻尼状态,对阶跃响应为非周期过程;c)当时,特征根为具有负实部的一对共轭复数根,这样系统处于欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减振荡过程。
二、根轨迹方程
所谓根轨迹方程,是指用来绘制反馈系统根轨迹的方程。根轨迹方程是来自反馈系统的特征方程,因此求取根轨迹方程必须先写出反馈系统的特征方程,即
(4-1)
其中“”号对应负反馈系统,“”号对应正反馈系统,将式(4-1)改写成
(4-2)
(4-3)
式(4-2)、式(4-3)便是用来绘制反馈系统的根轨迹方程。其中,式(4-2)为绘制负反馈系统的根轨迹方程;式(4-3)为绘制正反馈系统的根轨迹方程。
其次,应用根轨迹方程式(4-2)和式(4-3)绘制根轨迹之前,需将开环传递函数化成通过极点与零点表达的标准形式,即
(4-4)
式中——绘制根轨迹的可变参数,称为参变量;
——(1,2,…,)为系统的开环极点;
——(1,2,…,)为系统的开环零点。
式(4-4)所示开环传递函数的标准形式必须具有下列特征:(1)参变量必须是分子连乘因子中的一个独立因子;(2)必须通过零、极点来表示;(3)构成分子和分母的每个因子中项的系数必为1。
从上面举例看出,绘制根轨迹实质上是用图解法求系统特征方程的根,因为负反馈系统的特征方程为
即
它是一个向量方程,直接应用不方便,将其转化为常用的幅值条件与相角条件的形式,最后应用这些条件绘制控制系统的根轨迹。因为
是复数,可写成指数形式,即
因为
||
所以
,1,2,…
写成两个方程为
(4-5)
,1,2,…(4-6)
方程(4-5)和(4-6)是根轨迹上每一个点都应同时满足的两个方程式,前者称为幅值条件,后者称为相角条件。换言之,在系统参数基本确定的情况下,凡能满足相角条件和幅值条件的值,就是对应给定参数的特征值,即闭环极点,也就是根轨迹上的点。由式(4-6)可知,相角条件与参数无关,与无关可以理解为取0~范围内任何值式(4-6)都成立。根据根轨迹的定义,在平面上,凡满足相角条件式(4-6)的一切,都是对应可变参数取某值时的特征根。因此,在平面上,凡满足相角条件的点必是根轨迹上的点,
而幅值条件只是用来确定根轨迹上某确定闭环极点。对应系统可变参数的值,一般是参变量k。
在这里需指出,参变量并非一定是系统的开环增益,它可以是反馈系统的其它参数,如某个环节的时间常数等。然而,不论参变量由系统哪一个参数来决定,都可由相角条件,绘制出反馈系统的根轨迹。
同理,由式(4-3)可得正反馈系统的幅值条件