高中数学 1.1.3导数的几何意义教案 新人教A版选修1-1.doc

文档介绍：高考资源网§
教学目标:
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,并会用导数的几何意义解题;
教学重点:曲线的切线的概念、切线高考资源网的斜率、导数的几何意义;
教学难点:导数的几何意义.
教学过程:

(一)平均变化率、割线的斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢?

(一)曲线的切线及切线的斜率:-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么?
-2
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题:⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系?
⑵切线PT的斜率为多少?
容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时,无限趋近于切线PT的斜率,即
说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2),则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
(二)导数的几何意义:
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(二)导函数:
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x):或,
即:
注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(三)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一。

例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
(2)求函数y=3x2在点处的导数.
解:(1),
所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为即
(2)因为
所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为即
(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
解:

例2.(课本例2)-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解:我们用曲线在、