文档介绍：高等数学(1)学习辅导(一)
第一章函数
⒈理解函数的概念;掌握函数中符号f ( )的含义;了解函数的两要素;会求函数的定义域及函数值;会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。
⒉了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意,有,则称为偶函数,偶函数的图形关于轴对称。
若对任意,有,则称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。
掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
基本初等函数是指以下几种类型:
常数函数:
幂函数:
指数函数:
对数函数:
三角函数:
反三角函数:
⒋了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数。
如函数
可以分解,,,。分解后的函数前三个都是基本初等函数,而第四个函数是常数函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。
例题选解
一、填空题
⒈设,则。
解:设,则,得
故。
⒉函数的定义域是。
解:对函数的第一项,要求且,即且;对函数的第二项,要求,即。取公共部分,得函数定义域为。
⒊函数的定义域为,则的定义域是。
解:要使有意义,必须使,由此得定义域为。
⒋函数的定义域为。
解:要使有意义,必须满足且,即成立,解不等式方程组,得出
,故得出函数的定义域为。
⒌设,则函数的图形关于对称。
解:的定义域为,且有
即是偶函数,故图形关于轴对称。
二、单项选择题
⒈下列各对函数中,( )是相同的。
A.; B.;
C.; D.
解:A中两函数的对应关系不同, , B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以A B, D都不是正确的选项;而选项C中的函数定义域相等,且对应关系相同,故选项C正确。
⒉设函数的定义域为,则函数的图形关于( )对称。
=x; ; ;
解:设,则对任意有
即是奇函数,故图形关于原点对称。选项D正确。
,则函数是( ).
; ;
;
解:A, B, D三个选项都不一定满足。
设,则对任意有
即是偶函数,故选项C正确。
⒋函数( )
; B. 是偶函数;
; 。
解:利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B正确。
⒌若函数,则( )
A.; B. ;
C.; D. 。
解:因为
所以
则,故选项B正确。
第二章极限与连续
⒈知道数列极限的“”定义;了解函数极限的描述性定义。
⒉理解无穷小量的概念;了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系;知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有:
有限个无穷小量的代数和是无穷小量;
有限个无穷小量的乘积是无穷小量;
无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法:包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因子,利用无穷小量的运算性质,有理化根式,两个重要极限,函数的连续性等方法。
求极限有几种典型的类型
(1)
(2)
(3)
⒋熟练掌握两个重要极限:
(或)
重要极限的一般形式:
(或)
利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则,如
⒌理解函数连续性的定义;会判断函数在一点的连续性;会求函数的连续区间;了解函数间断点的概念;会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类:
已知点是的间断点,
若在点的左、右极限都存在,则称为的第一类间断点;
若在点的左、右极限有一个不存在,则称为的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
一、填空题
⒈极限。
解:
注意:(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)
,其中=1是第一个重要极限。
⒉函数的间断点是。
解:由是分段函数,是的分段点,考虑函数在处的连续性。
因为
所以函数在处是间断的,
又在和都是连续的,故函数的间断点是。
⒊⒋⒌⒍设,则。
解:,故
⒎函数的单调增加区间是。
二、单项选择题
⒈函数在点处( ).
; ;
;
解:在点处没有定义,但
(无穷小量有界变量=无穷小量)
故选项B正确。
⒉下列函数在指定的