文档介绍：摘要:本文总结了利用微积分理论证明不等式的10种方法:导数定义法、单调性法、极值与最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函数的凹凸性法、泰勒公式法、幂级数展开式法、定积分理论法、参数法.
关键词:不等式、导数、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式.
[英文摘要]
The ways to prove inequalities with calculus theory
Abstract: In this paper ,I sum up ten methods to prove inequalities with
calculus theory :the method with derivative′s definition ,the method with monotoricity ,the method with extremum ,the method with Lagrange mean value theorem ,the method with function′s concavity or convexity ,the method with Taylor formula ,the method with development of power series ,the method with definite integral theory and the method with Parameter.
Key words: inequality ,derivative ,Lagrange mean value theorem ,Cauchy
Mean value theorem ,Taylor formula .
用微积分理论证明不等式的方法
高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似.
微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式.
一、用导数定义证明不等式法
-导数定义
导数定义:设函数在点的某个邻域内有定义,若极限存在,则称函数在可导,称这极限为函数在点的导数,记作.
:
(1)找出,使得恰为结论中不等式的一边;(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究.
例1:设函数,其中都为实数,为正整数,已知对于一切实数,有,试证:.
分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:.于是问题可以转化为证明.
证明::.由于.
.
用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的.
-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理
定理一:若函数在可导,则在内递增(递减)的充要条件是:
.
定理二:设函数在连续,在内可导,如果在内(或),那么在上严格单调增加(或严格单调减少).
定理三:设函数在内可导,若(或),则在内严格递增(或严格递减).
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
(1)构造辅助函数,取定闭区间;
△如何构造辅助函数?
①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2);
②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数(见例3);
③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数(见例4).
(2)研究在上的单调性,从而证明不等式.
例2:证明不等式:.
分析:利用差式构造辅助函数,则将要证明的结论转化为要证,而,因而只要证明
.
证明:令,易知在上连续,且有,由定理二可知在上严格单调增加,所以由单调性定义可知,
.
例3:求证:.
分析:不等式两边有相同的“形式”: :.
证明:,且有
.则由定理二可知在上严格单调增加.