文档介绍：数学竞赛中的数学思维
数学竞赛是当前数学教育实践中的一个重要的组成部分,数学思维则是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构关系)交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学中的形象思维、直觉思维、定势思维和反定势思维以及创造性思维是数学思维结构的基本成分。以下笔者将结合数学竞赛中试题的分析来阐述形象思维、直觉思维、定势思维以及创造性思维。
一、形象思维
数学中形象思维是凭借各种形象来思考、表述和展开数学问题的思维活动。形象思维的形式有:意象、联想、想象。
例1:六年级有学生54人,每人至少爱好一种球,其中爱好乒乓球的有40人,爱好足球的有20人,爱好排球的有30人。既爱好乒乓球又爱好排球的有18人;既爱好足球又爱好乒乓球的有14人;既爱好足球又爱好排球的有12人,对于这三种都爱好的有几人?
分析:我们用韦恩图(画三个圆)表示题中的数量关系,三个圆两两相交,分隔成7块,设三种都爱好的有x人,那么每一块所表示的意义就一目了然了。(如图)
解:设三种都爱好的有x人,列方程:(8+x)+(18-x)+(14-x)+x+x+(12-x)+(x-6)=54
x+46=54
x=8
本题通过画图,把题中的各个数量以及数量之间的关系清楚地呈现出来,把繁杂的数字用具体的形象来展现。
二、直觉思维
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。这是数学直觉思维的本质特征,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的,问题的解决也离不开直觉。
例2:计算■+■+■
分析一:三个分子都是1,分母都是三个连续自然数的乘积,这样我们想到用“裂项相消”的办法。
解法一:原式=■×(■-■)+■×(■-■)+■×(■-■)
=■×(■-■+■-■+■-■)
=■×(■-■)
=■
分析二:由于项数不多,故采用通分计算。
原式=■+■+■
=■
=■
“裂项相消”是竞赛中常用的,本题也可采用,但优势不大。但若碰到:
“求■+■+■+...+■的值”时,用“裂项相消”的方法就非常方便简单了。
三、定势思维
定势思维是指人们用某种固定的思维模式去分析问题、解决问题。这种固定模式是已知的,事先有所准备的,具体地说,思维中的定势包括定向、定法、定序三个主要方面的内容。
例3: 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形又有( )个。
分析:采用分类讨论的方法来做(定法)。对于这种计数题,很容易遗漏或者重复计算。用分类讨论的方法思路很清晰,也便于做完后检查,查漏补缺。
解:以正方形面积大小来分类计数:
设相邻两点的距离为1,则正方形的面积为1的有9个;面积为2的有4个;面积为5的有2个;面积为8的有4个;面积为13的有2个。
所以,共有9+4+2+4+2=21个正方形。
四、创造性思维
创造性思维是指以新的材料、从新的角度,用新的程序和方法处理、加工信息,从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的特征有独创性、灵活性、综合