文档介绍：展看经典悖论周游
古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求
知和精密的思考,吸引了古往今来很多思想家和喜好者的注重力。解决悖论困难
需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它回纳为六种类型,分上、中、下三
个部份。这是第一部份:
由概念自指引发的悖论和引进无穷带来的悖论
(一)由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的新题目:假如从肯定命题进手,就
会得到它的否定命题;假如从否定命题进手,就会得到它的肯定命题。
1-1谎言者悖论
公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):
“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的
。
《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常
说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,
但是保罗对于它的逻辑解答并没有喜好。
人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:
1-2“我在说谎”
假如他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如
果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:
1-3“这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是:假如事件A发生,则推导出非A,非A发生则
推导出A,这是一个自相矛盾的无穷逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的
表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我
的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个
学派的逻辑学家,从他们所公认的条件中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有
些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中
一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:
‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指
他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”
(同上)
罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命
题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿
此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这
一整个时期,我差未几完全是致力于这一件事,但是尽不成功。”(同上)
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的条件下推导出来的,并且使
用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发
表一本包含那么很多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地
解决这个悖论并不轻易。
接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“
它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比
较轻易理解,假如这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但
是在集合论里,新题目并不这么简单。
1-4理发师悖论
在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的
人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理:假如理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人
。有言在先,他应该给自己理发。
反之,假如这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己
理发的人理发,他不能给自己理发。
因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素
在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有
故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”新题目。
1-5集合论悖论
“R是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问:“R包含不包含R自身?”假如不包含,由R的定义,R应
属于R。假如R包含自身的话,R又不属于R。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有新题目以后,1931年歌德尔(Kurt
Godel,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十
九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指
出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的
命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;
罗素悖论也表明集合***理体系不完备。
1-6书目悖论
一个图书馆编辑了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名
的书。那么它列不列出自己的书名?
这个悖论和理发师悖