文档介绍：Ch 2 2 曲线积分与曲面积分
计划课时: 16 时
P 263—279
2002. .
Ch 22 曲线积分与曲面积分( 1 6 时)
§ 1 第一型曲线积分与第一型曲面积分( 3 时)
一. 第一型线、面积分的定义:
几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段、平面区域、空间几何体的质量
定义及计算
曲线和曲面的质量:
第一型线、面积分的定义: 定义及记法. 线积分, 面积分.
第一型线、面积分的性质: [1]P356
二. 第一型线、面积分的计算:
第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念.
设有光滑曲线, . 是定义在
上的连续函数. 则
. ( 证) [1]P357
若曲线方程为: , 则
.
的方程为时有类似的公式.
例1 设是半圆周, .
. [1]P358 E1
例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分
. [1]P358—359 E2
空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,
. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有
.
计算积分, 其中是球面被平面
截得的圆周. [1]P359 E3
解由对称性知, ,
=. ( 注意是大圆)
Ex [1]P361—362 1,2.
第一型曲面积分的计算:
,
则.
例4 计算积分, 其中是球面被平面
所截的顶部. [1]P360 E5
Ex [1]P362 4 .
§ 2 第二型曲线积分( 3 时)
第二型曲线积分的定义:
力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:
先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得
, 即.
2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例).
设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到
右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量 B
为, ( 是切向量方向与X轴
正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方
向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A
题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线
方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向.) .在弧段
上的流量. ,
因此,
.
由, 得
.
于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为
.
3. 第二型曲线积分的定义: ( [1]P364 ) 闭路积分的记法. 按这一定义, 有
力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为
.
流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到
右侧的总流量E为.
第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 对二型曲线积分有,
因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.
可类似地考虑空间力场沿空间曲线
AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分
.
4. 第二型曲线积分的性质:
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题. 与我们以前讨论过的积分
相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的
思想建立的积分. 因此, 第二型曲线积分具有(R )积分的共性, 如线性、关于函数或积
分曲线的可加性. 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性, 这是由于一方面向
量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向
之间的夹角有关.
二. 第二型曲线积分的计算:
曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.
设L为光滑或按段光滑曲线, L : .
A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有
. (证略)
例1 计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分
从点A到点B或闭合, 路径为
ⅰ> 直线段AB
ⅱ> 抛物线;
ⅲ> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径. [1]P367 E1
计算积分, 这里L :
ⅰ> 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
ⅱ> 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). [1]P368 E2
例3 计算第二型曲线积分 I = , 其中L是螺旋线
, 从到的一段. [1]P369 E3
例4 求在力场作用下,
ⅰ> 质点由点A沿螺旋线到