文档介绍：
1、经历“探索—发现--猜想--证明”的过程,进一步体会证明的必要性,增强证明意识和能力.
2、证明线段垂直平分线的性质定理探索并证明线段垂直平分线的判定定理,进一步发展推理能力.
学****目标:
已知:线段AB,(如图).
求作:线段AB的垂直平分线.
做一做:用尺规作线段的垂直平分线.
,以大于 AB
的长为半径作弧,两弧交于点C和D.
A
B
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
.
.
作法:
自主学****br/>(1)同学们怎么知道“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这条性质呢?
我们曾经利用折纸的方法得到这条性质
(2)同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢?
自主学****br/>证明:∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
在△PCA和△PCB中,
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A
C
B
P
M
N
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
自主学****br/>AC=BC
∠PCA=∠PCB=90°
C=PC
几何语言描述
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
B
M
N
C
P
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
意一点(已知)
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等)
自主学****br/>想一想:你能写出“定理线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的逆命题吗?
逆命题如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
即到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?如果是,请你证明它.
思考分析
合作交流
已知:如图,线段BC,AB=AC.
求证:点A在BC的垂直平分线上.
B
C
A
合作交流
∵ AD⊥BC
∴△ADB和△ADC都是Rt△
∵AB=AC,AD=AD
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)
∴ BD=CD(全等三角形的对应边相等)
∴点A在BC的垂直平分线上
C
B
D
A
方法一:
过点A作AD⊥BC,垂足为D
合作交流
∵D为BC的中点
∴BD=CD
∵AB=AC,AD=AD
∴△ADB≌△ADC(SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC
即点A在BC的垂直平分线上
方法二:
把线段BC的中点记为D,连接AD
合作交流
B
D
A
C
思考
你还有其它证
明方法吗?