文档介绍：第四节
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一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
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位置.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
平面.
点击图中任意点动画开始或暂停
1. 曲线方程为参数方程的情况
切线方程
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◆若平面光滑曲线方程为
故在点
有切线方程
因
此处要求
也是法平面的法向量,
切线的方向向量:
称为曲线的切向量.
如个别为0, 则理解为分子为 0 .
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不全为0,
因此得法平面方程
说明: 若引进向量函数
, 则
为 r (t) 的矢端曲线,
处的导向量
就是该点的切向量.
例1.
求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程.
切线方程
法平面方程
即
即
解: 由于
对应的切向量为
在
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, 故
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
当
曲线上一点
, 则有
时, 可表示为
处的切向量为
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看成参数方程
由于
将T扩大J倍
方程组
求导公式:
则在点
切线方程
法平面方程
有
得
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记忆小窍门
也可表为
法平面方程
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例2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
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法平面方程
即
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解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
解得
方程②乘-z加到方程①
②
①
例2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.