文档介绍：第六节
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二、空间曲线的切线与法平面
三、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、一元向量值函数及其导数
一、一元向量值函数及其导数
对于空间曲线的Γ的参数方程
若记
则(1)可表示为向量形式
(2)确定了一个映射
它将每一个
映成一个向量
因此,将此映射叫做一元向量值函数。
定义设数集
则称映射
为一元向量值函数,记为
其中D为定义域,t 为自变量,
为因变量。
一元向量值函数是普通一元函数的推广,其自变量
仍取实数值,而因变量n 维向量。一元向量值函数简称
向量值函数,而将普通实值函数称为数量函数。
在R3中,若向量函数
的分量函数依次为
则向量函数可表为
或
O
x
y
z
Γ
M
设的起点在原点,终点为M,即
当t 改变时, 随着改变,终点M
也随着改变,其轨迹Γ称为向量函数的
终端曲线,也称为向量值函数的图形。
称为曲线Γ的向量方程。
可以类似于数量函数来定义极限、连续、导数等:
定义1 设向量值函数
若存
在常向量,
则常向量叫
向量值函数
或
可以证明:
定义2 设向量值函数
如果
则称向量值函数在连续。
可以证明:向量值函数在某点连续的充要条件是其
各分量函数都在该点连续。
若向量值函数在某区域上每一点都连续,则称它在
该区域上连续,或称其为该区域上的连续函数。
定义3 设向量值函数
如果
存在,则称其为向量值函数在该点处的导数或导向量。
此时也称向量值函数在该点可导。
若向量值函数在某区域上每一点都可导,则称它在
该区域上可导。
可以证明:向量值函数在某点可导的充要条件是其
各分量函数都在该点可导。且
向量值函数的导数运算法则与数量函数的导数运算
法则在形式上相同,参见92面,其证明也可仿照数量函
函数的导数运算法则,或对向量值函数的分量运用对应
的法则证明。
导向量的几何意义(92面):
O
x
y
z
Γ
M
N
导向量是点M处的一个切向量,
其方向与t 的增长方向一致。
导向量的物理意义(93面):
速度向量、加速度向量。
例1 设
解
例2 空间曲线Γ的向量方程为
求曲线Γ在点 t = 2 相应点处的单位切向量。
解
于是由导数的几何意义知,曲线Γ在点 t = 2 相应点处
的单位切向量为
和
前者指向与t 的增长方向一致,后者相反。
例3 一人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿
位置向量
的路径螺旋式
向上,求(1)滑翔机在任意时刻t 的速度、加速度向量:
(2)滑翔机在任意时刻t 的速率(速度的大小):
(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻:
复****平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
切线方程
法线方程
若平面光滑曲线方程为
故在点
切线方程
法线方程
在点
有
有
因
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