文档介绍：第三节三重积分
第八章
(Triple Integrals)
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
三、小结与思考练****br/>9/4/2018
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一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在内的物质的
可得
“分割, 近似求和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
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存在,
称为体积元素,
若对作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域上连续,
则存在
使得
V 为的
体积,
积和式”极限
记作
定义设
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法(“先一后二”)
方法3 . 截面法(“先二后一”)
方法2 . 三次积分法
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数,
方法:
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如图,
方法1. 投影法(“先一后二”)
注意
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该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
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投影法
设区域
利用投影法结果,
把二重积分化成二次积分即得:
方法2. 三次积分法
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解
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其中为三个坐标
所围成的闭区域.
解:
面及平面
例2. 计算三重积分
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