文档介绍：§2 不定积分的计算(1)
(一) 教学目的:掌握第一、二换元积分法与分部积分法.
(二) 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法.
基本要求:熟练掌握换元积分法和分步积分法.
(三) 教学建议:
(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题.
(2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法.
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不定积分的计算一般由三种方法:
凑公式法
部积分法
第二变量替换法
一第一类换元法——凑公式法
引出凑公式法:
Th 若连续可导, 则
该定理可叙述为: 若函数能分解为则有
.
凑公式法: 表面看不符合基本积分公式,但作变换,令后,而符合基本积分公式
例1 但作变换,令后
例2 不符合基本积分公式,稍微变换一下
= 令
例3 不符合基本积分公式,但用三角函数公式整
令后化成
凑公式法的关键是设法把凑成的形式,使
符合基本积分公式。
凑公式法的关键是设法把凑成的形式,使
符合基本积分公式。
分部积分
我们讲导数时,知道
从而有
移项得
或
我们称这个公式为分部积分公式。
当不容易积分,但容易积分时,我们就可以用分部积分把不容易积分的计算出来
例4
若令, 代入分部积分公式
但若令, 代入分部积分公式
比原积分还复杂
由此可知,在用分部积分公式时,u, v 的选择不是随意的,那个作u , 那个作 v ,应适当选取,否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。
分析分不积分公式,我们可总结出下面一个原则:
一般应把(相比之下)容易积分,积分后比较简单的函数作为,积分较难或积分后比较复杂的函数作为
例 4
相比之下显然,容易积分,所以取
分部积分公式也可以连续用多次
例5
积分是它本身,积分是相比之下, 容易积分,应选,
再用一次分部积分公式
例6
二者积分难度相当,随意取那个作u 都可,比如取
代入分部积分公式
再分部积分一次
出现循环
将上式最后一项移到左端合并整理
分部积分使用的类型:一般说下面类型的不定积分
等常用分部积分来计算。<br****题课(凑公式法和分部积分法)
常用的几种凑公式法
凑法1
例 1
例 2
例 3
例 4
由例1-4知,常可用初等化简把被积函数化为型,然后用凑法1.
例 5 ⑴.
⑵
.
凑法2 .
特别地, 有
和.
例6 .
例7
例8 .
例9
=.
凑法3
例 10 ⑴⑵
例11
例12 .
例13
凑法4 .
例 15
凑法5
例 16
凑法6
.
例 17
.
其他凑法举例:
例 18 .
例 19
例 20
.
例21 .
例22 .
例23
例24 .
二使用分部积分公式的一般原则.
1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数.
例46 (幂对搭配)
例47 (幂三搭配)
例48 (幂指搭配)
例49 (幂指搭配)
例50
例51 (幂反搭配)
例52
建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函两
因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.
例53
例54 求和
解
解得
解=
=
(参阅例41)
解得
,
解得.
例58
=
=,
解得.
§2 不定积分的计算(2) 第二换元积分法
教学内容:第二换元积分法
要求:掌握正弦代换,正切代换,正割代换,根式代换的技巧
难点:代换的选择技巧
第二类换元法:
从积分出发,从两个方向用凑微法计算,即
= =
=
引出拆微原理.
Th2 设是单调的可微函数,并且又
具有原函数. 则有换元公式
(证)
常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换,
Euler代换等.
我们着重介绍三角代换和无理代换.
1. 三角代换:
⑴正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的,