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文档介绍：四、旋转体的侧面积(补充)
三、已知平行截面面积函数的
立体体积
第二节
一、平面图形的面积
二、平面曲线的弧长
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定积分在几何学上的应用
第六章
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则微元
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边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
所围图形的面积.
解: 由
得交点
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解法2: 由
得交点
例2. 计算抛物线
与直线
的面积.
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
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S1
S2
阴影面积可以以x为变量来求:
例3. 求椭圆
解: 利用对称性,
所围图形的面积.
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
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一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程
若y>=0, 且当x由a变到b时,t由
则曲边梯形面积
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给出时,
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
解:
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极坐标:
在 平面内取一个定点O, 叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,
对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,
再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).
这样建立的坐标系叫做极坐标系.
ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标.
极点O和直角坐标系的原点且极轴Ox与直角坐标系的x轴重合时, 极坐标(ρ,θ)与直角坐标(x,y)建立一一对应关系.