文档介绍：曲线积分与曲面积分
§10·1 对弧长的曲线积分
计算下列曲线积分:
1 ,其中是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点三角形边界.
2 ,其中为直线与抛物线所围区域的边界.
3 ,其中为半圆的边界。
4 ,其中为曲线弧。
5 ,其中为双纽线右面一瓣。
6,其中为圆周。
求曲线的质量,设其线密度为。
§10·2 对坐标的曲线积分
1 计算,其中为抛物线上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
2计算,其中是由坐标轴及直线所构成的三角形周界,方向为逆时针方
向。
3计算,其中为由点A(0,0)到点B(2,4)的线段。
4 计算,其中为依逆时针方向绕椭圆一周的路径。
5计算,其中为以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形边界,取正向.
6 在椭圆上每一点M都有作用力,大小等于从点M到椭圆中心的距离,而方向朝着椭圆中心,求质点P沿椭圆位于第一象限中的弧从点A(,0)移动到点B(0,)时,力所作的功。
§10·3 格林公式
1计算,其中是从O(0,0)到A(6,0)的上半圆周。
2 计算,其中为正常数,为从沿曲线到点的弧。
3 设为连接A(1,2),B(3,4)的某曲线弧,弧与其上方的直线所围成的面积为m,试计算:的值。
4 计算,其中为以点(1,0)为中心,为半径的圆周,取逆时针方向。
5 设位于(0,1)的质点A,对质点M的引力大小为(K>0为常数),r为质点A与M之间的距离,质点M沿曲线自点B(2,0)运动到O(0,0)求质点A对点M的引力所做的功。
6 利用曲线积分计算星形线所围图形的面积。
7验证下列曲线积分与路径无关,并计算其值。
⑴,其中是从A(0,0)到B(a,b)的任意弧段。
⑵,其中连续,曲线是由圆弧及折线BCD组成,其中A(0,1),B(-1,1),C(0,-1),D(1,2)。
设关于中间变量具有连续的一阶导数,证明:沿任意分段光滑闭曲线曲线积分
9求下列微分式的原函数:
⑴
⑵
⑶
10 设在区域内可微,是内两点,是以为起点
为终点的逐段光滑的有向曲线。
⑴将改写成向量形式;
⑵设都在第一象限,计算
§10·4 对面积的曲面积分
1 计算,其中为平面在第一卦限中的部分。
2 计算,其中为上半球面
3计算,其中为球面
4计算,其中为曲面与平面所围成的立体的表面。
5 设为锥面在柱体内的部分,求曲面积分
§10·5 对坐标的曲面积分
1 设是平面被三坐标平面截下的部分的上侧,求:
⑴⑵⑶
2设是平面的下侧,求
3设是半球面的上侧,求
4 把化为对面积的曲面积分,其中为上半球面的上侧。