曲线积分与曲面积分.ppt

文档介绍：§1. 对弧长的曲线积分
(又称第一类曲线积分)
第五部分
曲线积分与曲面积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1. 引例:求曲线形构件的质量。
设一曲线形构件位于xoy平面上的一段
曲线弧 L上, 线密度ρ(x,y)为L上的连续函数,
求该曲线形构件的质量 M。
光滑曲线
---- 具有连续切线的曲线。
x
y
0
A
B
思想方法:
(1) 分割:
插入分点:
设
每一小弧段长
(2) 取近似:
则小弧段质量:
(3) 求和:
(4) 取极限:
2、定义
设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段
(各点都具有切线,且当切点连续移动时切线也连续转动),
用L上的任意点 M1, M2, …, Mn-1 把L分成
若和式的极限
则称此极限值为
f (x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分。
函数 f (x,y) 在 L上有界,
也称为第一类曲线积分。记作
L —积分弧段(积分路径)
ds —弧元素
说明:
(1) f (x,y)在L上连续,则曲线积分必存在。
(2) f(x,y)虽为二元函数,但点(x,y)被限制在L上,
变量 x, y 不独立, 须满足曲线 L 的方程。
(3)若L是光滑闭曲线, 常记成
(4)推广到空间曲线Γ, 有
3. 性质
(与定积分性质相仿)
(3) 若L是分段光滑的曲线段,即
(4) 设在 L 上,
则
(5) (积分中值定理)
设 f (x,y) 在 L 上连续,
则必存在
使
其中 l 为 L 的长度。
第一类曲线积分的对称性
(1) 如曲线 L 关于 x = 0 对称,L1 是 L 的部分,
(2) 若交换x, y两变量时,L的方程不变,则
------轮换对称性
二、对弧长的曲线积分的计算法
定理:
具有一阶连续导数,且
L的参数方程为:
则曲线积分
存在,
且