文档介绍：曲线积分和曲面积分
 
一、基本内容
 
(一)第一型曲线积分与曲面积分
(1)第一型曲线积分的定义
若是封闭的,则记作.
(2) 第一型曲线积分的计算
(1)第一型曲面积分的定义
(2)第一型曲面积分的计算
(二)第二型曲线积分
1第二型曲线积分的定义
设,
当,,都存在时,
其中是的单位切向量,
称为一般形式的第二型曲线积分.
2. 第二型曲线积分的计算
(1)格林公式
(2)若、、、在单连通域上均连续,则下列四个命题等价:
1) 只依赖于区域内的起点与终点,而与连结、的积分路径无关;
2) 在区域上,是某一个函数的全微分,且
点是内的某一定点,点是内的动点;
3) 在区域上的每一点处都成立;
4),其中是内的任意一条逐段光滑的闭曲线.
(三)第二型曲面积分
称为一般形式的第二型曲面积分,当是闭曲面时,积分号将写成.
2. 第二型曲面积分的计算
,
同理计算,.
-高公式与斯托克斯公式
(1)
(2)
4..向量场的散度与旋度
称为散度,
称为旋度.
二、练****题
 
:
(1)计算,其中为连接,,的直线段所围成的围线.
解:如图10-1,;
O
1
1
A
B
x
y
图10-1
;
.
.
(2),其中为摆线,的第一拱.
解:摆线的第一拱,则.
.
(3),其中是.
解:是关于的奇函数,而是关于轴对称.
由第一型曲线积分的对称性知:
.
(x,y)
a/2
a
x
y
O
t
图10-2
(4),其中为圆周.
解:如图10-2,方程为:
,其中.
原式
.
(5),其中为圆周.
解:的参数方程为:
.
.
.
z
O
B
a
x
A
C
y
a
a
图10-3
(6)计算球面在第一象限上的边界曲线的形心.
解:不妨假设,如图10-3,
.
.
 
 
其中
;
;
.
.
故.
又由于图形的对称性知.
(7)设的方程为,其线密度,求对于原点处的单位质点引力.
解:的极坐标方程为,
,
,
.
.
由对称性知.
:
(1),为抛物线.
解:原式
.
(2),其中为抛物线段,为直线.
解:原式
.
(3),为沿参数增加的方向进行的曲线
.
z
O
B
1
x
A
C
y
1
1
图10-4
解:原式
.
(4),为球面的第一象限中的部分
的边界,当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方.
解:如图10-4,由对称性知原积分为
.
,从到.
原积分
.
(5),是从沿曲线到点.
解:补充直线段,从到.
原积分
.
(6),其中为域的正方向的周线.
解:由格林公式,
.
(7),为沿正向进行,而不经过坐标原点的简单闭曲线.
 
 
图10-5
解:(1)若原点不在所围的区域内,直接应用格林公式
(2)若原点在所围成的区域内,如图10-5,在原点附近作一个充分小的圆周,其方向为顺时针方向,设与所围成的复连域为,则
.
(8).
解:.
故积分与路径无关.
1
A
3
x
y
o
 
-1
B(3,-1)
图10-6
C
如图10-6,选取路径,计算积分.
原积分
.
(9).
1
O
B(1, )
x
y
图10-7
A
解:,故积分与路径无关,
如图10-7,选取路径计算积分.
原积分
.
:
2
图10-8
(1),是在第一象限的部分.
解:,
.
如图10-8,
.
a
图10-9
(2),是
的表面.
解:如图10-9,取.
取,
.
则
.
(3)设曲面的面密度为,求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量.
解:由对称性知:.
.
.
.
故质心坐标为.
.
由对称性知.
.
:
(1),是由与所围成的立体的表面内侧.
解:由高斯公式知
.
(2),是由,及所围成立体表面外侧.
解:由高斯公式
.
(3),为球面
的外侧.
解:.
由对称性知.
故原积分
设,,,
则仍有.
.
(4)求向量穿过曲面为的全表面流向外侧的流量.
解:.
 
三、测验题
 
1.      填