曲线积分曲面积分.ppt

文档介绍：
一、对坐标的曲面积分的概念与性质.
二、对坐标的曲面积分的计算方法.
三、两类曲面积分之间的关系.
复****br/>对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
y
x
o
z
S
二、对面积的曲面积分的计算法

曲面的侧:
通过曲面上法向量的指向,
(上侧)
有向曲面:
取定了法向量
设
是有向曲面,
在
上取小曲面
在
面上投影区域的面积为
类似可定义
在
面
定出曲面的侧.
或选定了侧的曲面。
(下侧)
设
在
面上的投影为
规定
为
上各点处法向量与
轴正向之夹角,
面
及
且
有相同的符号。
上的投影
引例
设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由
给出,
是速度场中一片有
向曲面,
斜柱体体积为:
流量:
求在单位
在
函数
上连续,
时间内流向指定侧的流体的质量,
即流量
且流速为常向量
的一个闭区域,
(1)若流体流过平面上面积为
流向曲面一侧的流量.
单位时间内流过这
闭区域的流体组成一个底面积为
斜高为
的斜柱体,
(2)
为曲面,
为变量.
流速
定义
任取点
作乘积
记
若极限
存在,
记作
即
类似,
在有向光滑曲面
上有界。
设函数
任意分割
将
小块
成
也表其面积)。
(
面上投影为
在
并作和式
则称此极限值为函数
在有
向曲面
上对坐标
的曲面积分.
注:
1.
坐标的曲面积分
3.
则
4.
5.
对
(也称第二类曲面积分)
存在.
2.
如果
记作
则
在有向曲面
上连续时,
当
为分片光滑有向曲面,
若
为封闭曲面,
若
表示与
相反侧的曲面,
用

区域为
在
上连续.
则
上侧取正,
类似,
前侧取正,
右侧取正,
定理
由方程
给出,
设有向曲面
在
面上的投影
在
上有一阶连续偏导,
下侧取负.
后侧取负.
左侧取负.
外侧,
解
取上侧;
取下侧;
取前侧;
取后侧;
取右侧;
取左侧.
同理,
例1. 计算
是长方体
的整个表面的
分成六部分:
将有向曲面
原式
例2. 计算
其中
是球面
外侧在
解
取上侧;
取下侧.
的部分.
画草图.