曲面积分与曲线积分.ppt

文档介绍：§ 对坐标的曲线积分
三、两类曲线积分之间的联系
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算
第二类曲线积分的定义、
定义的推广
对坐标的曲线积分的性质
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
设在xOy面内有一个质点,在变力F(x, y)P(x, y)iQ(x, y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B,试求变力 F(x, y) 所作的功.
O
x
y
A
B
F(x , y)
L
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
O
x
y
A
B
L
用点AA0,A1,A2,· · · ,An1,AnB把L分成 n个小弧段,
A1
A2
Ak
Ak+1
An-1
F(xk , yk)
显然,变力F(x, y)沿有向小弧段
AkAk+1 所作的功可以近似为
[P(xk , yk)costk Q(xk , yk)sintk]sk .
则
于是,变力F(x, y)所作的功
从而
这里tt(x, y),{cost, sint}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致
的单位切向量.
对坐标的曲线积分的定义:
设L为xOy面上一条光滑有向曲线,{cost, sint}是与曲线方向
一致的单位切向量,函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义. 如果下列
二式右端的积分存在,我们就定义
对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.
定义的推广:
设G为空间内一条光滑有向曲线,{cosa, cosb, cosg}是曲线在
点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x, y, z)、
Q(x, y, z)、R(x, y, z)(假如各式右端的积分
存在)
对坐标的曲线积分的简写形式:
对坐标的曲线积分的性质:
(1) 如果把L分成L1和L2,则
(2) 设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的有向曲线弧,则
二、对坐标的曲线积分的计算
应注意的问题:
下限 a 对应于 L 的起点,上限 b 对应于L的终点,a不一定
小于b .
定理:设P(x, y)、Q(x, y)在光滑有向曲线L上连续,L的参数
方程为
当参数t单调在由a 变到b 时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终
点B,则
若空间曲线G由参数方程
xj(t),y =y (t),zw(t)
给出,曲线的起点对应于t=a ,终点对应于t=b ,那么曲线积分
讨论:
如何计算?
{P[j(t), y(t), w(t)]j(t)
Q[j(t), y(t), w(t)]y(t)R[j(t), y(t), w(t) w(t)]}d t.
提示: