文档介绍：空间直角坐标系
一、教材知识解析
1、空间直角坐标系的定义:从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz,点O叫做坐标原点,x轴、y轴和z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面。
2、右手直角坐标系及其画法:
(1)定义:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书上所指的都是右手直角坐标系。
(2)画法: 将空间直角坐标系画在纸上时,x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,而z轴垂直于y轴,,y轴和z轴的长度单位相同,,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的长度的一半,这样,三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示:点在对应数轴上的坐标依次为x、y、z,我们把有序实数对(x,y,z)叫做点A的坐标,记为A(x,y,z)。
二、题型解析:
题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中,作出M(4,2,5).
解:法一:依据平移的方法,为了作出M(4,2,5),可以按如下步骤进行:(1)在轴上取横坐标为4的点;(2)将在平面内沿与轴平行的方向向右移动2个单位,得到点;(3)将沿与轴平行的方向向上移动5个单位,就可以得到点M(如图)。
法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为4,2,5的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在轴的正半轴、轴的正半轴、轴的正半轴上,则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。
法三:在轴上找到横坐标为4的点,过此点作与垂直的平面;在轴上找到纵坐标为2的点,过此点作与垂直的平面;在轴上找到竖坐标为5的点,过此点作与垂直的平面;则平面交于一点,此交点即为所求的点M的位置。
【技巧总结】:(1)若要作出点M的坐标有两个为0,则此点是坐标轴上的点,可直接在坐标轴上作出此点;
(2)若要作出点M的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐标轴上,但在某一坐标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。
(3)若要作出点M的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤作出该点,一般有三种方法:
①在轴上取横坐标为的点;再将在平面内沿与轴平行的方向向左()或向右()平移个单位,得到点;再将沿与轴平行的方向向上()或向下()平移个单位,就可以得到点 M。
②以O为一个顶点,构造三条棱长分别为的长方体(三条棱长的位置要与的符号一致),则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。
③先在轴上找到点,过作与垂直的平面;在轴上找到点,过作与垂直的平面;在轴上找到点,过作与垂直的平面,则平面交于一点,此交点即为所求的点M的位置。
【变式与拓展】
(-2,1,4)
在同一坐标系下作出下列各点:A(3,0,0),B(0,0,-3),C(2,3,0),D(4,2,3),E(4,-2,3)
题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示
例2、如图,在正方体中,E,F分别是的中点,棱长为1,求E、F点的坐标。
解:法一:E点在点面上的射影为B,B(1,1,0),竖坐标为,。
F在在点面上的射影为BD的中点为G,竖坐标为1,
法二:,E为中点,F为的中点。
故E的坐标为,F的坐标为
【技巧总结】:(1)确定空间直角坐标系下点M的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键。
(2)空间直角坐标系下,点与的中点为
【变式与拓展】
、如图,长方体中,OA=6,OC=8,,(1)写出点的坐标。
(2)若点G 是线段的中点,求点G的坐标。
解:(1)在轴上,且,即竖坐标是5,横坐标和纵坐标都为0,所以点的坐标为(0,0,5)。
点在平面上的射影是A,点A在轴上,且横坐标为6,纵坐标为0,竖坐标和相同,所以点的坐标为(6,0,5),同理可得。
(2)由于(0,0,5),B(6,8,0),则的中点G的坐标为(3,4,)
、如图,直三棱柱中,,M是的中点,Q是BC的中点,试建立空间直角坐标系,写出B、C、、M、Q的坐标。
解:分别以AB、AC、A所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,(如图),则
B(2,0,0),C(0,2,0),
M(0,2,1),Q(1,1,0)
、已知P(2,1,3),求M关于原点对称的点,M关于平面对称的点,M分别关于轴、轴对称的点。
解:由于点M与关于原点对称,即原点是点M与的中点,所以(-2,-1,-3);
点M与关于平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数