文档介绍：2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
十、动态综合型问题
1.(北京模拟)已知抛物线y=-x 2+2x+m-2与y轴交于点A(0,2m-7),与直线y=2x交于点B、C(B在C的右侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为E,在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得∠BFE=∠CFE,若存在,求出点F的坐标,若不存在,说明理由;
(3)动点P、Q同时从原点出发,分别以每秒个单位长度、每秒2 个单位长度的速度沿射线OC运动,以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ(直角边分别平行于坐标轴),△PMQ与抛物线y=-x 2+2x+m-2有公共点,求t的取值范围.
x
O
y
A
B
C
P
Q
M
x
O
y
A
B
C
F
E
解:(1)把点A(0,2m-7)代入y=-x 2+2x+m-2,得m=5
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3
(2)由解得
∴B(,2),C(-,-2)
∵y=-x 2+2x+3=-( x-1 )2+4
∴抛物线的对称轴为x=1
设F(1,y)
∵∠BFE=∠CFE,∴tan∠BFE=tan∠CFE
当点F在点B上方时, =
解得y=6,∴F(1,6)
x
O
y
A
B
C
P
Q
M
当点F在点B下方时, =
解得y=6(舍去)
∴满足条件的点F的坐标是F(1,6)
(3)由题意,OP=t,OQ=2t,∴PQ=t
∵P、Q在直线直线y=2x上
∴设P(x,2x),则Q(2x,4x)(x <0)
∴=t,∴x=-t
∴P(-t,-2t),Q(-2t,-4t)
∴M(-2t,-2t)
当M(-2t,-2t)在抛物线上时,有-2t=-4t 2-4t+3
解得t= (舍去负值)
当P(-t,-2t)在抛物线上时,有-2t=-t 2-2t+3
解得t=(舍去负值)
∴t的取值范围是:≤t ≤
2.(北京模拟)在平面直角坐标系中,抛物线y1=ax 2+3x+c经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B.
(1)求抛物线y1的解析式及B点坐标;
(2)若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后,得到一条新的抛物线y2,已知抛物线y2与x轴交于两点,,沿线段OC向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线OA于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF.
①当点E落在抛物线y1上时,求OP的长;
x
A
y
OD
B
C
P
F
E
D
Q
G
N
M
②若点P的运动速度为每秒1个单位长度,同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动,速度为每秒2个单位长度,当Q点到达O点时P、,与直线AC交于G点,,求t的值.(正方形在x轴上的边除外)
解:(1)∵抛物线y1=ax 2+3x+c经过原点及点A(1,2)
x
A
y
OD
B
C
P
F
E
D
Q
G
N
M
H
∴解得
∴抛物线y1的解析式为y1=-x 2+3x
令y1=0,得-x 2+3x=0,解得x1=0,x2=3
∴B(3,0)
(2)①由题意,可得C(6,0)
过A作AH⊥x轴于H,设OP=a
可得△ODP∽△OAH,∴= =2
∴DP=2OP=2a
∵正方形PDEF,∴E(3a,2a)
∵E(3a,2a)在抛物线y1=-x 2+3x上
∴2a=-9a 2+9a,解得a1=0(舍去),a2=
∴OP的长为
②设直线AC的解析式为y=kx+b
O
P
N
Q
C
x
y
D
A
E
F
M
G
∴解得k=- ,b=
∴直线AC的解析式为y=- x+
O
P
N
Q
C
x
y
D
A
E
F
M
G
由题意,OP=t,PF=2t,QC=2t,GQ= t
当EF与MN重合时,=6
∴3t+2t+ t=6,∴t=
当EF与GQ重合时,则OF+QC=6
O
P
N
Q
C
x
y
D
A
E
F
M
G
O
P
N
Q
C
x
y
D
A
E
F
M
G
∴3t+2t=6,∴t=
当DP与MN重合时,=6
∴t+2t+ t=6,∴t=
当DP与GQ重合时,则OP+CQ=6
∴t+2t=6,∴t=2
3.(北京模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+4经过A(-3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C