文档介绍：对于函数对称性的几点思
摘要:函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。通过近年来对高考题的研究,我们发现函数对称性也是高考一直以来的热点问题。本文从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
关键词:函数;对称性;思考
中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)13-0121
一、函数自身的对称性探究
=f(x)的图象关于点A(a,b)对称的充要条件是:f(x)+f(2a-x)=2b
证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图象上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)的图象上,∴2b-y=f(2a-x)
即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0)
∵f(x)+f(2a-x)=2b∴f(x0)+f (2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0)。
故点P′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图象上,而点P与点P′关于点A(a,b)对称,充分性得征。
推论:函数y=f(x)的图象关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(-x)=0
定理2. 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是:f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f (2a-x)(证明留给读者)
推论:函数y=f(x)的图象关于y轴对称的充要条件是y=f(x)=f(-x)
定理3. ①若函数y=f(x)图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y=f(x)图象既关于点A(a,c) 成中心对称,
∴f(x)+ f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f(2b-x)+f [2a-(2b-x)] =2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图象关于直线x=b轴对称,
∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得:
f(x)=2c-f [2(a-b)+x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:
f(x)= f [4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
定理4. 函数y=f(x)与y=2b-f (2a-x)的图象关于点A(a,b)成中心对称。
定理5. ①