文档介绍：第五章因子分析
第一节因子分析基本理论
第二节因子分析模型
第三节因子分析模型的解
第四节方差最大正交旋转
第五节因子得分和综合评价
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第一节因子分析基本理论
因子分析的基本思想
因子分析概念起源于20世纪初Karl Pearson 和Charles Spearmen等人关于智力测验的统计分析。
因子分析的基本思想是把每个研究变量分解为几个影响因素变量,将每个原始变量分解成两部分因素,一部分是由所有变量共同具有的少数几个公共因子组成的,另一部分是每个变量独自具有的因素,即特殊因子。
xi=∑aijfj+ei
第一节因子分析基本理论
因子分析过程就是从错综复杂的社会经济现象中找出少数几个主要因子,每一个因子就代表经济变量间相互依赖的一种经济作用。
因子分析也可以用于对变量或样品点进行分类处理,计算出因子得分值后,根据因子得分在因子构成的空间中画出变量或样品点,可以直观形象地达到分类的目的。
在区域经济分析中,描述地区特征的指标往往很多,指标间彼此相关,使研究复杂化。可以运用因子分析,提取出主要影响因子,简化数据结构,确定各因子权重,并进行综合评价。
第二节因子分析模型
一、Spearman研究并提出因子分析
Spearman在1904年研究了33名学生在6门考试成绩之间的相关性,得到如下结果:
第二节因子分析模型
Spearman发现相关阵中如果不考虑对角元素的话,任意两列的元素大致成比例。例如对C列和E列有:
~ ~ ~ ~
第二节因子分析模型
Spearman提出对于每一科目都遵从以下形式:
Xi=aiF+ei
Xi为标准化后的考试成绩;F为公共因子,对各科成绩都有影响,均值为0,方差为1;ei为仅对第I门课程有影响的特殊因子,F与ei相互独立。
每门课程都可以看出是一个公共因子(智力)与一个特殊因子的和。
第二节因子分析模型
对于形式: Xi=aiF+ei
常数ai的意义是表示公共因子F解释Xi的方差的比例,被称为因子载荷,ai2称为共同度。
将该例子中的一个因子推广到多个因子就得到一般因子模型。
第二节因子分析模型
二、一般因子分析模型
X*:标准化后的数据,
F:公共因子,
E:特殊因子
其中X*=(x1*,x2*…,xp*)′,
F=(F1,F2,…,Fm) ′
E=(e1,e2,…ep) ′
第二节因子分析模型
则下面模型为因子模型
x1*=a11F1+a12F2+…+a1mFm+e1
x2*=a21F1+a22F2+…+a2mFm+e2
…
xp*=ap1F1+ap2F2+…+apmFm+ep
其矩阵形式为:
X*=AF+E 或X*=F'A'+E
第二节因子分析模型
X*=AF+E 或X*=F'A'+E,其中
a11 a12 … a1p
A= a21 a22 … a2p
…
ap1 ap2 … app
A称为因子载荷矩阵或因子负荷矩阵,aij称为因子载荷,其绝对值越大(|aij|<=1),表明Xi与Fj的相依程度越大,或称公共因子Fj对Xi的载荷量越大。