文档介绍：本科毕业论文
题目: 分块矩阵初步研究
学院: 数学与计算机科学学院
班级: 数学与应用数学2008级六班
姓名:
指导教师: 职称: 副教授
完成日期: 2012 年 5 月 20 日
分块矩阵初步研究
摘要:文章初步探索总结分块矩阵相关的几类问题,包括用求矩阵的行列式问题, 讨论分块矩阵的初等变换, 用分块矩阵求逆矩阵问题。
关键词: 分块矩阵;初等变换;行列式;可逆的分块矩阵
Abstract: Key word:
目录
1引言………………………………………………………………………………(1)
2最短路……………………………………………………………………………()
3最短路的应用
4结语
1引言
在处理级数较高的矩阵时常用的方法是矩阵的分块,有时候,我们把一个大矩阵看成是一些小矩阵组成的。就如矩阵时由数组成的一样来处理,这就是所谓的矩阵的分块。
2矩阵的初等变换
分块矩阵的初等行(列)变换的定义与普通矩阵的初等行变换类似,分块矩阵也有三种类型的初等行
变换〔1〕:①把一个块行的左L倍(L是矩阵)加到另一个块行上;②换两个块行的位置;③用一个可逆矩阵左乘
某一块行。
类似地有分块矩阵的初等列变换:
①把一个块列的右L倍(L是矩阵)加到另一个块列上;②互换两个块列的位置;③用一个可逆矩阵右乘某一块列。
分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵的关系把单位矩阵分块得到的矩阵经过一次分块矩阵的初等行(列)变换得到的矩阵称为分块初等矩阵
是三种不同类型的分块初等矩阵(其中X是可逆矩阵)。通过直接计算可以验证:用分块初等矩阵左乘(右乘)一个分块矩阵,就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行(列)变换。
分块矩阵的初等行(列)变换有直观的优点,用分块初等矩阵左乘(右乘)一个分块矩阵可以得到一个等式,把两者结合起来可以发挥出很大的威力。
分块矩阵的初等变换与矩阵的秩由于分块初等矩阵是可逆矩阵,因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到:分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
符号约定本文用“r2+L·r1”(“c2+c1·L”)表示把分块矩阵第1块行(列)的左(右)L倍加到第2块行(列)上;用“r1圮r2”(“c1圮c2”)表示把分块矩阵的第1块行(列)和第2块行(列)互换;用“L·r1”(“c1·L”)表示用可逆矩阵L左(右)乘分块矩阵的第1块行(列)〔2〕,等等。还约定用E表示单位矩阵,用表示n阶单位矩阵。
3分块矩阵的行列式:
设矩阵为m + n阶矩阵, 其中A, D 分别为m 与n 阶方阵, B 为m×n 矩阵, C 为n×m 矩阵, 则:
①当A可逆时,有==;
②当D可逆时,有==。
证明:①如果A可逆时,由乘法定律有:
=
左右两边取行列式有:
因此有:
②如果D可逆时,由乘法定律有:
=
左右两边取行列式有:
=
因此可得:==
性质1:说A和B是m阶矩阵和n阶矩阵
性质2:设A为矩阵,B为矩阵()于是有
推论:在性质1中,若B=A,则
若B=A则,A为m阶可逆方阵。
性质3:假设A是m阶方阵,D是n阶方阵,则,P为m阶方阵。
性质4:假如A是m阶方阵,D是n阶反复震,Q为矩阵则:
性质5:假设A是m阶方阵,D是n阶方阵,则:,
由拉普拉斯定理易得。
推论1:设A是m阶方阵,D是n阶方阵,则若A可逆,且AC=CA,则
推论2:==
性质7:
例1:计算下列矩阵的行列式
M=
解:将M化为
M=-I+I
由降阶公式得到
==(-1)
=(-1)
例2:计算2n阶行列式
=
解:令A=D=,B=C=则D-CAB=-=
从而=a(a-ba)=(a-b)
例3:计算:
解:令A=, B=,
则原行列式==(y-4x)y。
例4:计算
解:原式==-5.
4分块矩阵逆的几种求法:
I:初等变化法
设r+s阶方阵A=,其中,分别是r,s阶可逆矩阵,则A可逆,求A?
解:利用广义初等行变换
故A=
于是也可以证明r+s阶方阵
B=可逆,当中A,A分别是r,s阶可逆矩阵,且B=
II:分解法
假如
是一个n阶满秩方阵,若A中存在某一r阶顺序主子式且其不为零则对A进行分块令A=,就说A一定可以分解成一个下三角分块矩阵L与一个上三角分块矩阵V的乘积形式,L=,V=这里JJ分别为r×r,(n-r)×
(n-r)阶单位矩阵,有M=AA,N=-AAA+A
III:方程组法
假如n阶