文档介绍：倒立摆实验报告
机自82
组员:李宗泽
李航
刘凯
付荣
直线一级倒立摆系统建模仿真实验
一、实验目的:
1、学会收集和查阅资料,学会针对指定控制系统建立数学模型的方法;
2、学会使用Matlab/Simulink建模和仿真的方法;
3、掌握控制器的设计方法,以及控制器参数整定和优化的方法。
,熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真,对实验结果进行观察和分析,非常直观的感受控制器的控制作用。
二. 实验设备
倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方案,促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用,由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星
飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容,因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统,为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰,需要给系统设计控制器
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示:
我们不妨做以下假设:
M 小车质量
m 摆杆质量
b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量
F 加在小车上的力
x 小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)
图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中,N 和P 为小车与摆杆相互作用
力的水平和垂直方向的分量。
注意:在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:
(3-1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:
(3-2)
即:
(3-3)
把这个等式代入式(3-1)中,就得到系统的第一个运动方程:
(3-4)
为了推出系统的第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,
可以得到下面方程:
(3-5)
(3-6)
力矩平衡方程如下:
(3-7)
注意:此方程中力矩的方向,由l,故等式前面有负号。
合并这两个方程,约去P 和N,得到第二个运动方程:
(3-8)
设θ=φ+π( φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角),假设φ与1(单位是弧
度)相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理:
用u 来代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下:
(3-9)
对式(3-9)进行拉普拉斯变换,得到
(3-10)
注意:推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到:
或
如果令则有:
把上式代入方程组的第二个方程,得到:
整理后得到传递函数:
其中
设系统状态空间方程为:
方程组对, 解代数方程,得到解如下:
整理后得到系统状态空间方程:
由(3-9)的第一个方程为:
对于质量均匀分布的摆杆有:
于是可以得到:
化简得到:
设则有:
另外,也可以利用MATLAB 中tf2ss 命令对(3-13)式进行转化,求得上述状
态方程。
实际系统的模型参数如下:
M 小车质量 Kg
m 摆杆质量 Kg
b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 5m
I 摆杆惯量 kg*m*m
把上述参数代入,可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数:
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
以外界作用力作为输入的系统状态方程:
以小车加速度作为输入的系统状态方程:
小车的加速度作为系统的输入,如果用户需要采用力矩控制的方法,可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。
根据已经得到系统的状态方程,先对其进行阶跃响应分析,在MATLAB 中