关于二次函数最值问题的讨论.doc

文档介绍：关于二次函数的最值问题的讨论
学生姓名:xxx 指导教师:xxx
摘要:本文讨论了一元二次函数与二元二次函数的最值问题,首先研究了一元二次函数在闭区间上的最值问题,讨论了在四种不同情况下函数的单调区间及最值的变化,其次研究了运用构造法解决二次函数最值问题,详细给出了构造两点间的距离、构造斜率、构造点到直线的距离、构造直线方程以及构造圆锥曲线的方法以及所要注意的细节.
关键词:二次函数最值构造法

在生产实践及科学中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题,例如如何进行资源调动,才能使成本最小,利润最大;怎样规划建筑蓝图,才能使材料使用最少,空间占用最大等等,,更重要的是用理论来服务现实,因此更要透彻的掌握理论,,选择正确的方法进行求解很重要,几何图形作为研究函数性质的一个重要辅助工具,能直观的反应函数本身的特性,使函数形象化,“形”方面的信息,如果能充分利用这个“形”把复杂的数学问题变为简单的几何问题,便可使问题轻松获解.
一、一元二次函数在闭区间上的最值问题
一元二次函数的一般形式为,所表示的图形是一条抛物线,我们可以通过分析函数在区间内的单调性来分析最值是否存在,若存在在什么情况下取得最大值或最小值.
1、轴定区间定(对称轴及定义域不变)
对函数在上的最值问题有三种情况(此时抛物线开口向上):
第一种情况:若对称轴在区间内,即,则在上是减函数,在上是增函数,如图1,故的最小值为,最大值为与中较大的一个.
第二种情况:若对称轴在区间左侧,即,则在上是增函数,故的最小值为,最大值为.
第三种情况:若对称轴在区间右侧,即,则在上是减函数,故的最小值为,最大值为.
对函数在上的最值问题也有三种情况(此时抛物线开口向下):
第一种情况:若对称轴在区间内,即,则在上是增函数,在上是减函数,如图2,故的最大值为,最小值为与中较小的一个.

图1 图2
第二种情况:若对称轴在区间左侧,即,则在上是减函数,故的最大值为,最小值为.
第三种情况:若对称轴在区间右侧,即,则在上是增函数,故的最大值为,最小值为.
2、轴定区间动
例1 求函数在的最大值及最小值.
解析:的对称轴是,
当时,在定义内是减函数,故,;
当时,即时,在上单增,在上单减,故,是与中较小的一个;
当时,即时,,;
当时,即时,,;
故当时,,当时,;
当时,在定义域内是增函数,故,.
综上,
,.
对称轴固定,则抛物线的位置是固定的,定义区间从左向右沿轴正方向运动,对开口向下的抛物线依次进行截取,得到增函数部分,包含顶点的部分和减函数部分,从而将问题转化为“轴定区间定”的问题来解决.
3、轴动区间定
例2 求函数在上的最大值及最小值.
解析:对称轴是,当时,在定义域内是增函数,故,;
当时,在上单减,在上单增,故,为与中较大的一个,若,则,若,则;
当时,在定义域内是减函数,故,.
综上,
,.
定义区间固定,对称轴从左向右沿轴正方向运动,对开口向上的抛物线依次进行截取,得到减函数部分,包含顶