文档介绍：客观世界的许多事物和现象,始终处在不断变化中,且这种变化是连续不断的,如气温的升降,植物的生长,河水的流动,时间与空间等,这些现象反映到数学上,就是变量的连续...函数与极限客观世界的许多事物和现象,始终处在不断变化中,且这种变化是连续不断的,如气温的升降,植物的生长,河水的流动,时间与空间等,这些现象反映到数学上,就是变量的连续...客观世界的许多事物和现象,始终处在不断变化中,且这种变化是连续不断的,如气温的升降,植物的生长,河水的流动,时间与空间等,这些现象反映到数学上,就是变量的连续...函数与极限初等数学研究的对象基本上是不变的量,而高等数学则是以变量为研究对象的一门数学。千姿百态的物质世界无不处在运动、变化和发展之中,对各种变化过程和过程中的变量间的依赖关系的研究产生了函数的概念。所谓函数就是变量之间的对应关系,极限方法则是研究变量的一种基本方法。本章将在中学已有函数知识的基础上进一步理解函数概念,并介绍极限和函数的连续性等基本概念,以及它们的一些性质。第一节函数及其性质函数的概念函数的定义实例1(气温与时间的关系)气温随着时间的变化而变化,如何准确地表示某天气温与时间的变化关系呢?实例2(圆的面积)圆的面积A与半径r的关系可表示为。在研究事物内部、事物与事物各因素间的关系时,常常通过对客观事物的分析,建立各因素之间的关系式。这种关系式可以充分揭示各因素之间的数量关系,也可以揭示事物的发展规律,也是我们对事物进行分析和研究的重要基础。定义1设和是两个变量,是一给定的数集。如果对于每个数,变量按照一定的法则,总有确定的数值与之对应,则称是的函数,记作,。其中称为自变量,称为函数(因变量),自变量的取值范围称为函数的定义域。当取数值时,与对应的的数值称为函数在点处的函数值,记作。当取遍的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集称为函数的值域。若函数在某个区间上的每一点都有定义,则称这个函数在该区间上有定义。确定函数的两个要素对应规律例1。例2设,求解。定义域在实际问题中,函数的定义域是根据问题的实际意义确定的。用解析式表达的函数,其定义域就是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数值。例3求函数的定义域。解这是两个函数之和的定义域,先分别求出每个函数的定义域,然后求其公共部分。要使有定义,必须满足解得。要使有定义,必须满足解得,于是,所求函数的定义域是。例4下列函数是否相同,为什么?(1)与;(2)与。解(1)与不是相同的函数,因为定义域不同。(2)与不是相同的函数,因为对应法则不同。函数的表示法函数常用的表示法有三种:解析法、列表法、图形法因变量自变量对应法则(1)解析法解析法的优点是便于数学上的分析与计算。本书主要讨论用解析式表示的函数。列表法要获得一天中气温与时间的关系,可以每间隔一段时间测量一些数据。,由此可以观察出这段时间内气温的变化规律。:008:309:009:3010:0010:3011:0011:3012:、精确。图形法通过心电图的比较,医生可以诊断出此人是否患有心脏病。(a)为健康人的心电图,(b)为患有严重心脏病病人的心电图。图1-1(a)图形法的优点是直观、通俗、容易比较。函数的几种特性以下设函数在某区间I上有定义。,使得在区间I上有,则称在I上有界,若这样的M不存在,则称在I上无界。例5在上有界,因为对任意都有。例6在(0,1)内无界,而在(1,2)内有界。,当时,有,则称在I上单调增加,区间I称为单调增区间;若,则称在I上单调减少,区间I称为单调减区间。单调增区间或单调减区间统称为单调区间。xyOy=f(x)ababxyOy=f(x)图1-,若对于任意,都有,则称为偶函数;若,则称为奇函数。,使得对于任意,有,且,则称为周期函数,T称为周期。通常所说的周期是指周期函数的最小正周期。以上函数的性质,同学们可结合附表1进行判断。三、反函数定义2设是的函数,如果把当作自变量,当作函数,则由关系式所确定的函数称为函数的反函数,而称为直接函数****惯上总是用表示自变量,用表示函数,因此,往往把改写成,记作。事实上,与互为反函数。图1-3四、(为常数);指数函数()对数函数()三角函数反三角函数这五种函数统称为基本初等函数,这些函数的性质、图形可查阅附录1。,是的函数,当在的定义域或其一部分取值时,的值均在的定义域内,从而得到一个以为自变量,为因变量的函数,这个函数称为由和复合而成的