文档介绍：本科毕业论文(设计)
题目: Jensen不等式的推广
院(系)专业: 数学系(数学与应用数学)
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日期: 2012年6月
摘要
凸函数是一种性质特殊的函数,而凸函数的Jensen 不等式是一个很重要的不等式,由它可推出一系列不等式,而凸函数的构造也有其妙处。为使其更广泛应用于不等式的证明,本文利用凸函数的性质对Jensen不等式进行了推广,得到几个重要的积分不等式并进行了证明。
关键词:凸函数; 积分

Abstract
The convex function is one function with special properties, but the Jensen inequality of convex function is a very important inequality. According to the function, we can evolve a series of inequalities, and use it more easily to prove some important inequalities, but the convex function structures also have their advantages, In order to make good use of proving inequalities widely, in this paper, we use the properties of convex function to expand the Jensen inequality, obtain several important integral inequalities and give the proof of them.
Key word:Convex Function;Integral
目录
绪论 1
1 预备知识 2
凸函数 2
Jensen不等式 2
2 Jensen不等式的推广 4
积分型Jensen不等式 4
其它积分不等式 5
应用 8
结论 10
感谢信 11
参考文献 12
绪论
不等式是研究分析数学的重要工具,在高等数学中我们要用到各种形式的不等式。本文主要利用凸函数的定义及性质去证明不等式。其关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。
本文内容安排如下:
第一章预备知识。先介绍凸函数的定义及充要条件,再给出凸函数的Jensen不等式及其证明。
第二章 Jensen不等式的推广。先利用凸函数的定义及性质把前一章给出的Jensen不等式推广到积分形式,并给出证明。再由前章给出的知识以及积分型的Jensen不等式推出几个重要积分不等式并进行证明。最后给出两个例子介绍它们的应用。

1 预备知识
凸函数
定义设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点和任意实数总有
则称为上的凸函数。反之,如果总有
则称为上的凹函数。
定理1 设为上的可导函数,则为上的凸函数的充要条件是, 或对上的任意两点,有
Jensen不等式
定理2 (Jensen不等式) 为区间上的凸函数,则对任意,且,有
(1-1)
再把上式两端分别相加,得
由及,上式变为
=
=
即
注:当时,有,则(1-1)式变为
(1-2)
2 Jensen不等式的推广
积分型Jensen不等式
命题1 若在区间上连续,处处2阶可导且,则有(2-1)
证法:把区间等分,,把代入(1-2)式,有

即

因为,在上连续,当时,有

所以
其它积分不等式
命题2 若在连续,,则
(2-3)
证明:设,,则,所以为凸函数。由命题1可得

即
所以
注:命题2为命题1的一般形式,相当于命题一中的。因为为凹函数,所以符号相反。
命题3 若在区间连续且,则
(2-4)
证法一:设,,则。因为,所以,即为凸函数。根据命题1有

即
结论得证。
注:命题3由命题1所得,相当于。
证法二:把等分,分点为。因为算术平均值大于调和平均值,所以有

=
由有

令,取极限得

结论得证。
命题5 设在连续,且则有
证:因为函数为凸函数,由Jensen不等式有

=。

=