文档介绍：高考解答题冲刺练****三)——立体几何
1、如图,是正四棱柱.
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)若二面角的大小为,求异面直线与所成角的大小.
2、如图,平面⊥平面ABC,,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为,又,,.
(Ⅰ)求证:AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求多面体PMABC的体积.
3、如图,、是互相垂直的异面直线,、在上,在上,.
(Ⅰ)证明⊥;
(Ⅱ)若,求与平面所成角的余弦值.
4、如图,在三棱锥中,,,是的中点,且,.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)试确定角的值,使得直线与平面所成的角为.
B
C
D
A
E
5、如图,在直四棱柱中,已知,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)设是上一点,试确定的位置,使平面,并说明理由.
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
6、如图,在直三棱柱中,,,;点分别在, 上,且,四棱锥与直三棱柱的体积之比为.
(Ⅰ)求异面直线与的距离;
(Ⅱ)若,求二面角的平面角的正切值.
高考解答题冲刺练****三)——立体几何
参考答案
1、解法一:
(Ⅰ)∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,∴CC1⊥平面ADCD, ∴1
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC 又∵1A1,
1=C, ∴BD⊥1A1.
(Ⅱ) 设BD与AC相交于O,连接C1O. ∵CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,
∴BD⊥C1O, ∴∠C1OC∠是二面角C1—BD—C的平面角,
∴∠C1OC=60o. 连接A1B. ∵A1C1//AC, ∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.
设BC=a,则
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为
解法二:
(Ⅰ)建立空间直角坐标系D—xyz,如图.
设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,则点O坐标为
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为
2、(Ⅰ)∵平面平面,,平面.
∴平面
又∵平面
∴
(Ⅱ)取的中点,、.
∵平面平面,平面平面,.
∴平面.
∵,∴,从而平面.
作于,连结,则由三垂线定理知.
从而为二面角的平面角.
∵直线与直线所成的角为60°,
∴.
在中,由勾股定理得.
在中,.
在中,.
在中,
故二面角的大小为
(Ⅱ)如图以为原点建立空间直角坐标系.
设,
有,,.
,
由直线与直线所成的角为60°,得
即,解得.
∴,
设平面的一个法向量为,则
由,取,得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角,故二面角的大小为.
(Ⅲ)多面体就是四棱锥
.
3、: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.
A
B
M
N
C
l2
l1
H
∴AC⊥NB
(Ⅱ)∵Rt△CAN≌B, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌B, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
A
B
M
N
C
l2
l1
H
x
y
z
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
解法二: 如图,建立空间直角坐标系M-=1, 则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是=(1,1,m), =(1,-1,0). ∴·=1+(-1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵=(1,1,m), =(-1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. B中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1-λ,-λ),
=(0,1, ). · = 1-λ-2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, - ), 连结BH,则=(-1,, ),
∵·=0+ - =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠=(-1,1,0),
∴cos∠NBH= = =
4、解法1:(Ⅰ),是等腰三角形,又是的中点,
,又底面..于是平面.
又平面,平面平面.