文档介绍：第5章控制系统的频域分析
频域分析法主要适用于线性定常系统,是分析和设计控制系统的一种实用的工程方法,应用十分广泛。它克服了求解高阶系统时域响应十分困难的缺点,可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的稳定性,分析系统参数对系统性能的影响,在控制系统的校正设计中应用尤为广泛。
1:频率特性的基本概念
对于图示一阶系统,系统的闭环传递函数为:
若输入为正弦信号,即:r(t)=R0sinωt,则:
经拉氏反变换,得:
图5-1
-
系统的输出c(t)由两项组成,第一项为瞬态分量,其值随着时间的增长而趋于零,第二项为稳态分量,它是一个频率为ω的正弦信号。当时间t趋于无穷时,稳态分量即为系统的稳态输出,说明在正弦信号作用下系统的稳态输出为一个频率为ω的正弦信号。
可以证明,对于一个稳定的线性定常系统,在其输入端施加一个正弦信号时,当动态过程结束后,其输出(频率响应)是一个与输入信号同频率的正弦信号,该正弦信号的幅值和相位是输入信号频率的函数。
证明:对于图示一般线性定常系统,可列出描述输出量c(t)和输入量r(t)关系的微分方程:
与其对应的传递函数为
线性定常系统
图5-2
拉氏反变换,可求得系统的输出为
稳态分量为
对于稳定的系统,瞬态分量随着时间的增长而趋于零,稳态分量CS(t)即为系统的稳态响应.
可见在正弦信号作用下,系统的稳态输出也是同频率的正弦信号.
可以定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω),相位之差为相频特性φ(ω),则有:
线性定常系统的频率特性包括幅频特性和相频特性,通常用复数来表示,即
显然,只要在传递函数中令s=jω即可得到频率特性。可以证明,稳定系统的频率特性等于输出量富氏变换与输入量富氏变换之比。
对于不稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,其输出信号的瞬态分量不可能消逝,瞬态分量和稳态分量始终存在,系统的稳态分量是无法观察到的,但稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号,可定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω),相位之差为相频特性φ(ω)。据此可定义出不稳定线性定常系统的频率特性。
频率特性和传递函数、微分方程一样,也是系统的数学模型
传递函数
微分方程
频率特性
图5-3
例5-1
若输入信号r(t)=2sin2t,试求系统的稳态输出和稳态误差。
单位负反馈系统的开环传递函数为
解
容易判断,所给系统是稳定的。在正弦信号作用下,稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差也是正弦信号,本题可以利用频率特性的概念来求解。
即:A(2)=1, φ(2)=-90°,因此稳态输出为 CS(t)=2·A(2)sin(2t+φ(2))= 2sin(2t-90°)。
在计算稳态误差时,可把误差作为系统的输出量,利用误差传递函数来计算,即:
因此稳态误差为: