文档介绍：高一数学《集合》知识点总结
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1)集合:某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N*
、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);
2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)
3)交集:A∩B={xx∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={xx∈A或x∈B}
5)补集:cUA={xxA但x∈U}
注意:①?A,若A≠?,则?A;
②若,,则;
③若且,则A=B(等集)
、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABcuAcuB;
④A∩cuB=空集cuAB;⑤cuA∪B=IAB。
、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;
③cu=cuA∩cuB,cu=cuA∪cuB;
:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
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【例1】已知集合m={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z},则m,N,P满足关系
A)m=NPB)mN=Pc)mNPD)NPm
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{xx=,m∈Z};对于集合N:{xx=,n∈Z}
对于集合P:{xx=,p∈Z},由于3+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以mN=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
=∈N,∈N,∴mN,又=m,∴mN,
=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合,,则(B)
=.
解:
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={xx∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为
A)1B)2c)3D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={xx∈A且xB},∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合m{1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为
A)5个B)6个c)7个D)8个
变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={xx2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,
∴∴
变式:已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.
解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={xx2-5x+6=0}