文档介绍：学****提纲
二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系;
(1)直线与直线的位置关系;
(2)直线与平面的位置关系;
(3)平面与平面的位置关系;
2、求解空间中的角度;
3、求解空间中的距离。
1、直线的方向向量;
2、平面的法向量。
一、引入两个重要空间向量
,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是
z
x
y
A
B
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.
α
n
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗?你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗?
、平面间的位置关系
(1)直线与直线的位置关系
不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.
①若a∥b,即a=λb,则a∥b.
②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
a
b
a
b
(2)直线与平面的位置关系
直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α.
①若a∥n,即a =λn,则 L⊥α
②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥α.
n
a
α
α
n
a
L
L
(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2
①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β
②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
β
α
β
α
n2
n1
n1
n2
,如何求平面法向量的坐标呢?
如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥α.
a
b
n
α