文档介绍：平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量基本定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
平面向量共线的坐标表示
一、平面向量的基本定理
e1
e2
2e2
B
C
O
3e1
A
e1
D
3e1+2e2
e1-2e2
O
A
B
C
M
N
O
A
B
C
M
N
思考:若上述向量e1,e2,a都为定向量,且e1,e2不共线,则实数λ1,λ2是否存在?是否唯一?
O
A
B
C
M
N
O
A
B
C
M
N
若向量a与e1或e2共线,a还能用λ1e1+λ2e2表示吗?
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
定理:若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
上述定理称为平面向量基本定理,不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
二、平面向量的正交分解及坐标表示
[0°,180°]
b
a
a
b
B
O
如果向量a与b的夹角是90°,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,,向量i、j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i、j为基底,向量a如何表示?
B
a
i
O
j
A
P
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得 a=xi+(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示.
a
i
x
y
O
j
x
y
三、平面向量的坐标运算
已知,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
已知a=(x,y)和实数λ,那么λ a= λ(x, y)即λa=(λx, λy)
这就是说,实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标。
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那么可以知道,a//b的充要条件是存在一实数λ,使a= λb这个结论如果用坐标表示,可写为(x1,y1)= λ(x2,y2),即x1= λx2,y1= λy2。
四、平面向量共线的坐标表示
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
x1y2-x2y1=0
也就是说,a//b(b≠0)的等价表示是