文档介绍：长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练
泰勒公式及其解题应用
系(部): 信息与计算科学
专业: 数学与应用数学

泰勒公式及其应用

摘要文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆,本文针对泰勒公式的应用讨论了三个问题,即应用泰勒公式求极限,判断级数的求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算.
关键词泰勒公式﹑极限﹑展开式﹑近似计算
1 .泰勒公式
[1] 若函数在存在阶导数,则有
=+(x-)+(x-+……
+(x-+- (1)
这里-为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点的泰勒公式.
当=0时,(1)式变为
=+x++……+
称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式,
若函数在某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则
= +-+-+……
+-+ (2)
这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)为在的泰勒公式.
当=0时,(2)式变成
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式:

.
…
…
2 .泰勒公式的应用
利用泰勒公式求极限
例1[1] 求极限
分析:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和sinx, 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解由
,
于是
利用泰勒公式求非初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式:
…………