文档介绍：一、矩阵的行秩、列秩、秩
二、矩阵的秩的有关结论
§ 矩阵的秩
三、矩阵秩的计算
一、矩阵的行秩、列秩、秩
定义
的秩称为矩阵 A 的行秩;
则矩阵 A 的行向量组
的秩称为矩阵 A 的列秩.
矩阵 A 的列向量组
设
引理如果齐次线性方程组
(1)
的系数矩阵
的行秩,那么它有非零解.
(若(1)只有零解,则)
证:
的秩为r,
设矩阵 A 的行向量组
且不妨设为其一个极大无关组.
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
(1')
所以(1')有非零解,从而(1)有非零解.
在(1')中
由于向量组与向量组等价,
定理4 矩阵的行秩=矩阵的列秩.
证明:设,A的行秩=r,A的列秩=r1,
下证.
先证.
则向量组的秩为r,
不妨设是它的一个极大无关组,
于是线性无关,
设A的行向量组为
即
(2)
只有零解.
只有零解.
所以方程组
由引理,方程组(2)的系数矩阵
(未知量的个数).
的行秩
是r个线性无关的行向量,
中一定可以找到 r 个线性无关的向量.
从而在矩阵的行向量组
不妨设
则该向量组的延伸组
于是矩阵A的列秩.
同理可证.
所以.
也线性无关.
A的列向量
矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,
记作秩A 或、
定义
注
②设,则
若则称A为行満秩的;
若则称A为列満秩的.
①若,则
二、矩阵秩的有关结论
定理5 设, 则
(降秩矩阵)
(满秩矩阵)
证:
若 n = 1, 则A只有一个一维行向量0,
的 n 个行向量线性相关.
从而A=0,
若 n > 1, 则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出,
依次减去其余行的相应倍数,这一行就全变成了0.
从而在行列式中,用这一行