文档介绍：贝叶斯决策
第一节         先验分布

作决策分析时,最先确定的各种自然状态的概率,它是在做任何实验或调查以前就确定了的。

根据某些客观的情报或证据,对自然状态估计或指定的先验概率。
表5-1
由这些资料可以确定未来任何一天的销售量(即自然状态)的概率分布。
日销量
天数
频率
10以下
10~30
30~50
50以上
3
9
15
3

例如一个商店的某种商品在过去30天内的销售记录如下:
先验分布例子:
用某一段时间内每批产品所包含的不合格品数目,来估计该产品不合格品率的概率分布;
用过去历年秋季广州市火灾的次数,来估计明年秋季火灾次数的概率分布。

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决策者小心分析自然状态的各种情况,评估各种自然状态出现的可能性大小之后,主观指定的先验概率分布。

决策者凭经验,凭预感或直觉去指定这些概率。
请教一些银行家、经济学家、市场研究机构等等,综合他们的意见后再来指定这些先验概率。
第二节 Bayes定理与后验概率分布

利用Bayes定理将补充信息和先验分布结合起来,产生的综合信息。
2 .Bayes定理
设自然状态θ有k种,分别用θ1,θ2,…,θk表示
P(θi)表示自然状态θi发生的先验概率分布
用χ表示调查结果,
P(χ|θi)表示在状态θi条件下,调查结果刚好为χ的概率。
后验概率(Bayes公式)为
P(χ∣θi)P(θi)
P=(θi |χ)= ─────────────
∑P(χ∣θj)P(θj) (i=1 2,…,k)
比先验概率分布更为准确。
3 Bayes定理的应用
例1     某自动生产设备在生产过程中可能正常亦可能不正常,正常时产品的合格率为80%,不正常时产品的合格率为30%。从某时刻生产的产品中抽取一件进行检验,要求我们根据这件产品的情况来判断设备是否正常。
设备正常和设备不正常,分别用θ1和θ2表示,先验概率为
P(θ1)= P(θ2)=
情况1:从某时刻的产品中抽取一件产品,若发现为合格品,即抽样的结果为χ=“合格品”,这就得到了一种补充的信息,
P(合格品|θ1)=
P(合格品|θ2)=
利用Bayes公式得:
,,故应判断此时设备正常,即θ=θ1
情况2:若从某时刻生产的产品中抽到的一件产品为不合格品,利用Bayes公式算得
故应判断此时设备不正常,即θ=θ2
情况3:如果从某时刻生产的产品中连续抽取两件产品的结果为χ=“合•合”,即两件产品皆为合格品,容易算得
利用概率的性质得
P(θ2∣合·合)=1—P(θ1∣合·合) =
判断此时设备为正常,即θ=θ1