文档介绍：线性代数总结
在学****线性代数之前就有几个老师说过线性代数并不比高数简单,我就这样半信半疑的开启了学****这门课的旅程。
在这本书的第一章中,我们主要学了以下几点:
利用对角线法则计算二阶和三阶行列式。
n阶行列式的定义及性质。
代数余子式的定义及性质。
计算简单的n阶行列式的方法和克拉默法则。
在这第一章中还有一些细节值得我们注意:
行列式展开的每项均由不同行不同列的元素组成。
进行列式的初等变换时ri+rj与rj+ri的区别。
特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。
上三角行列式与下三角行列式的特殊应用。
第二章我们主要学****了矩阵及其运算方法,主要内容如下:
一、同型矩阵(两个行列式的行数和列数均相等)、零矩阵(元素均为0)、对角矩阵(不在对角线上的元素都为0)、单位矩阵(对角线上的元素都为1的对角矩阵)、对称矩阵(AT=A,其元素以对角线为对称轴相对应)等特殊矩阵的定义。
二、如何计算矩阵的加法、数乘、转置以及矩阵间的乘法。
三、可逆矩阵和伴随矩阵的概念和性质及其之间的联系。
四、分块矩阵的概念及其运算规律,行向量组与列向量组。
同样第二章中也有一些细节,如:
利用A=PBP-1则f(A)=Pf(B)P-1计算矩阵的多项式。
|A*| = |A|^(n-1),|b*A|=b^n|A| 其中n是方阵A的阶数。
矩阵的乘法不满足交换律,但满足结合律和分配律。
矩阵|A|=0的充分必要条件是ATA=0。
|A|=0时,A成为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。
在第三章里老师向我们介绍了矩阵的初等变换与线性方程组,以下是主要内容:
利用初等行变换将矩阵转化为行阶梯形和行最简形。
矩阵的秩的概念及其性质,矩阵等价的定义及其充要条件。
线性方程组解的无解、有唯一解和有无限个解的充要条件以及当矩阵为方阵时的特殊情况。
矩阵方程AX=B有解的充要条件和求解线性方程组的方法。
在这一章中有几点值得我们特别注意:
行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。
经有限次初等行变换矩阵的秩不变。
当进行初等行变换时如果进行初等列变换,化成的行最简行会发生变化。
AB=0,且A为列满秩矩阵,则B=0。
在矩阵Am*n的左边乘以m阶初等矩阵即进行了一次初等行变换,右乘n阶矩阵则进行一次初等列变换。
很快我们进入到了这门课的主干部分,我们学****了向量组的线性相关性,以下是主要内容;
向量组的概念以及与矩阵的对应,向量组的线性组合概念。
向量组间能线性表示的概念及其充要条件以及向量组等价的概念。
向量组线性相关与线性无关的充要条件以及向量组的线性相关性的一些性质。
向量组的最大无关组和秩的概念以及如何利用初等变换来求。
基础解系、通解的概念以及求线性方程组的基础解系、通解的方法。
向量空间以及其基和维、解空间的概念,如何求向量在一个基中的坐标。
同样在这一章中也有值得我们注意的地方。
当方程组中有“多余的”方程时,方程组则是线性相关的, 否则是线性无关的。
含零向量的向量组是线性相关的。
向量组的最大无关组一般不是唯一的。
向量组A和自己的最大无关向量组等价。
过渡矩阵的求法。
之后我们学****了第五章,也是我们所学****的最后一章。其主要内容如下:
向量内积、长度、正交、规范正交基、正交矩阵的概念以及施密特正交化